Vektorraum - Funktionen auf lineare abhängigkeit bzw. unabhängigkeit prüfen

Question

brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Man betrachte den reellen Vektorraum V aller Funktionen von R nach R sowie die folgenden Vektoren in V:

h1: R-->R: x-->1

h2: R-->R: x-->x-2

h3: R-->R: x-->(x-2)^2

Sei außerdem     m: R-->R: x-->x^2

Nun muss man die folgenden Aussagen prüfen

1. Es gilt m e L(h2,h3)

2. Es gilt m e L(h1,h2,h3)

So nun muss ich ja auf lineare ab- bzw. unabhängigkeit prüfen

Wenn man auf lineare Unabhängigkeit prüft kann man ja irgendwelche Werte für x einsetzten z.B. x=0

Wenn man auf lineare Abhängigkeit prüft muss man die variable ja beibehalten.

Nur weiß ich nicht genau wie ich hier ein LGS aufstelle bzw. was ich mit dem x^2 anfangen soll (m).

Ein Tipp wäre sehr hilfreich

Danke schon mal:)

Comments

Tipp: Zeige, dass \(m=h_3+4h_2+4h_1\) gilt.

Answer 1

Das L ist doch wohl die lineare Hülle.
Du muss also prüfen, ob m als Linearkombination von
bei 1     h2 und h3
bei 2    h1 und  h2 und h3
darstellbar ist.
machst du den Ansatz für 1:
a*h2 + b*h3 = m
a(x+2) + b(x-2)^2 = x^2  
und sehen, ob es a,b gibt, so dass diese Gl. für alle x gilt:
ax + 2a + bx^2 - 4bx + 4b = x^2

dann müsste gelten   b=1  und  a-4b=0   und  2a+4b=0
also                                b=1  und  a=4       und   a = -2
Widerspruch, also m nicht aus   L(h2,h3)

für zwei Ansatz
ah1 + b*h2 + c*h3 = m
und nun abc ausrechnen, gibt nach dem
Tipp    4   4    1,
also m in der 2. lin. Hülle,