Auf lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit prüfen

Question

Moin, hat jemand einen Ansatz für die Aufgabe ?

Sei \( M=\{\log p \mid p \) Primzahl \( \} \). Entscheiden Sie, ob \( M \) eine linear abhängige oder linear unabhängige Teilmenge des \( \mathbb{Q} \)-Vektorraumes \( \mathbb{R} \) ist.
Bemerkung. Hierbei bezeichnet log: \( \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} \) die natürliche Logarithmusfunktion, d.h. die Umkehrabbildung von der Exponentialfunktion exp: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto \exp (x)=e^{x} \).

Answer 1

Mit Logarithmusgesetzen bekommt man

       \(\begin{aligned} &  & \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\log p_{i} & =0\\ & \iff & \log\left(\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha_{i}}\right) & =0\\ & \iff & \prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha_{i}} & =1 \end{aligned}\)

Sei o.B.d.A. \(m\in \{1,\dots,n\}\) mit \(\alpha_i < 0\) für alle \(i<m\) und \(\alpha_i \geq 0\) für alle \(i\geq m\). Dann ist

       \(\begin{aligned} &  & \prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha_{i}} & =1\\ & \iff & \prod_{i=1}^{m-1}p_{i}^{-\alpha_{i}} & =\prod_{i=m}^{n}p_{i}^{\alpha_{i}} \end{aligned}\)

Du musst dich noch darum kümmern, dass im Exponenten rationale Zahlen stehen, anstatt natürlicher Zahlen.