Drei transponierte Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen

Question

Gegeben Sei Folgende Aufgabe:

$$ \vec{a}=(1,-1,1)^T \ \ \vec{b}=(1,0,-1)^T \ \ \vec{a}=(1,0,1)^T $$

Nun soll untersucht werden, ob die drei Vektoren linear unabhängig voneinander sind

Problem/Ansatz:

Was ich nicht verstehet, da jetzt die Vektoren im Vorfeld schon Transponiert sind, heißt es, dass ich die quasi erst wieder in die "normal form" bringen muss, damit ich prüfen kann, ob Sie linear unabhängig voneinander sind?

Somit kriege ich folgende Lösung raus, bin aber nicht sicher ob das so richtig wäre.

Bitte um rat :P

1.Lösung:

2. Lösung:

Answer 1

Du sollst einfach nur untersuchen, ob die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \),   \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) und  \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} \) linear ab- oder unabhängig sind.
Man hat sie nur deshalb transponiert aufgeschrieben, weil in einem Fließtext das Übereinanderschreiben von drei Zahlen platzraubend und unhandlich ist.

Deinen zweiten Lösungsweg kannst du also schreddern, er hat nichts mit der eigentlichen Aufgabenstellung zu tun.

Comments

ok, danke für die Antwort.

Nochmal zu meinem Verständnis. Würde jetzt dort sowas stehen:

$$ \vec{a}=(1,-1,1)  \ \ \vec{b}=(1,0,-1) \ \ \vec{a}=(1,0,1) $$

Müsste die trotzdem dann als Zeile jeweils Schreiben?

Oder müsste ich die wie bei der 1. Lösung oben rechte Matrix schreiben?

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Ich weiß nicht, warum du immer auf "Matrix" herumreitest. Du hast zu untersuchen, ob die Gleichung

\( r\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \)  nur die Lösung r=s=t=0 oder auch noch eine davon abweichende Lösung hat. Das kannst du auf verschiedensten Wegen tun.

Das Gleichungssystem

r+s+t=0

-r=0

r-s+t=0

sollte auch jemand lösen können, der noch nie etwas von Matrizen oder Determinanten gehört hat.