Lineare Unabhängigkeit von Vektoren beweisen oder widerlegen

Question

Wir geben im Folgenden jeweils K, einen K-Vektorraum V und ein Tupel von Vektoren a an. Beweisen oder widerlegen Sie (wie üblich mit genauen, kleinschrittigen Begründungen), dass a in V linear unabhängig ist.

(a) K = ℝ, V = ℝ\( ^{3} \), a = ( \( \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\1 \end{pmatrix} \))

b) K = ℤ₅   , V = ℤ\(^{3}\)₅ , a  = ( \( \begin{pmatrix} ⌈1⌉\\⌈2⌉\\⌈3⌉ \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} ⌈2⌉\\⌈3⌉\\⌈4⌉ \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} ⌈1⌉\\⌈3⌉\\⌈0⌉ \end{pmatrix} \))

c) K = ℝ, V = ℂ⌈X⌉, a = (1,i,X,1+iX) ;

d) K = ℝ, V = K\( ^{K} \), a = (f,g,h) mit f,g,h :  ℝ → ℝ , f(x) = 1 + x, g(x) = sin(π*x), h(x) = 2\( ^{x} \)

Answer 1

a) \(a\) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

        \(p\cdot \begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix} + q\cdot \begin{pmatrix}1\\-1 \\1\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}3\\-3 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0 \\0\end{pmatrix}\)

mit \(p,q,r\in\mathbb{R}\) eindeutig lösbar ist.

b) \(a\) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

        \(p\cdot \begin{pmatrix}\left\lceil 1 \right\rceil\\\left\lceil 2 \right\rceil \\\left\lceil 3 \right\rceil\end{pmatrix}+ q\cdot \begin{pmatrix}\left\lceil 2 \right\rceil\\\left\lceil 3 \right\rceil \\\left\lceil 4 \right\rceil\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}\left\lceil 1 \right\rceil\\\left\lceil 3 \right\rceil \\\left\lceil 0 \right\rceil\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\left\lceil 0 \right\rceil\\\left\lceil 0 \right\rceil \\\left\lceil 0 \right\rceil\end{pmatrix}\)

mit \(p,q,r\in\mathbb{Z}_5\) eindeutig lösbar ist.

c) \(a\) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

      \(p\cdot 1 + q\cdot i + r\cdot X + s\cdot (1+iX) = 0_{\mathbb{C}\left\lceil X \right\rceil} \)

mit \(p,q,r,s\in\mathbb{R}\)  eindeutig lösbar ist.

d) \(a\) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

      \(p\cdot f + q\cdot g + r\cdot h = 0_{K^K} \)

mit \(p,q,r\in\mathbb{R}\)  eindeutig lösbar ist.

Comments

vielen Dank für die Antwort.

ich komme bei B auf keine Eindeutige lösung bzw. in der dritten Zeile kommt [0] [0] [0] = [0] raus, hab ich etwas falsch gemacht? finde meinen fehler nicht

mfg

Answer 2

Setze  als Ansatz eine allgemeine Linearkombination der gegebenen Vektoren gleich 0

und bestimme die Koeffizienten.  Wenn alle gleich 0 sein müssen, dann sind die

Vektoren lin. unabh., wenn es eine Lösung mit mindestens einem ungleich 0 gibt,

dann nicht.

Beispiel : (a). Wenn die Koeffizienten x,y,z sind, dann ergibt sich das Gleichungssystem

x  +   y   + 3z = 0
x  -  y    -  3z  = 0
3x  +  y   +   z = 0

Forme es um und bestimme so die Lösungsmenge. Du siehst:

(0;0;0) ist die einzige Lösung, also sind die Vektoren lin. unabh.

etc.

Bei (b) wirst du sehen, dass es auch eine Lösung ungleich (0;0;0) gibt,

(z.B. (2;1;1) ) also sind sie lin. abh.

Comments

Wie findet man es am einfachsten und schnellsten heraus dass es eine Lösung ungleich (0;0;0) gibt?

Gruß

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Verwende den Gauss-Alg. und bedenke, dass du in ℤ₅ bis, also 5=10=0 gilt.

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Vielen Dank!!

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ich komme bei b auf keine eindeutige Lösung , also bei mir kommt in der letzten Zeile

[0] [0] [0] = [0] raus , heißt das das b somit nicht linear unabhängig ist oder hab ich etwas falsch gemacht?

mfg