Lineare Unabhängigkeit Beweise/Widerlege

Question

 Wir geben im Folgenden jeweils K, einen K-Vektorraum V und ein Tupel von Vektoren a an. Beweisen oder widerlegen Sie (wie üblich mit genauen, kleinschrittigen Begründungen), dass a in V linear unabhängig ist.

K = ℝ, V = ℂ⌈X⌉, a = (1,i,X,1+iX) ;

 K = ℝ, V = K^K, a = (f,g,h) mit f,g,h :  ℝ → ℝ , f(x) = 1 + x, g(x) = sin(π*x), h(x) = 2^x

Kann mir jemand bei diesen aufgaben weiterhelfen , bzw. erklären wie ich am Besten woran gehe. Das Prinzip dahinter ist mir klar nur komme ich auf keine zufriedenstellende Lösung.

Mfg

Answer 1

1. Seien a,b,c,d ∈ ℝ mit a*1+b*i+c*X+d*(1+iX) = 0 (Nullpolynom von  ℂ⌈X⌉ )

==>   (a+d+bi) + ( c+di)*X = 0

Da 1 und X über dem C-Vektorraum  ℂ⌈X⌉  lin. unabh. sind folgt

  a+d+bi=0 und  c+di= 0

==> a+d=0  und b=0  und c =0 und d =0

also letztlich a=b=c=d=0 .

Somit sind sie lin. unabh.

2. Seien  a,b,c ∈ ℝ mit   f(x)  =  a*( 1 + x) + b*sin(π*x)+c*2^x

Wenn die 3 lin. unabh. sind, 
dann muss aus  f(x)  = 0  (Nullfunktion) folgen a=b=c=0 .

Es ist f(0) = a + b*0 + c =   a+c
und f(-1)  =  a*0  +  b*0  + c/2  =  c/2

Also c=0 und damit wegen a+c=0 auch  a =0

Dann bleibt f(x) =  b*sin(π*x) und mit x= 1/2 folgt

                            b * sin(pi/2) = 0

<=>      b*1 = 0   also b=0

Somit sind a=b=c=0 , also die Funktionen lin. unabh.