Vektoren, lineare Unabhängigkeit, Basis

Question

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Aufgabe 3
Sei \( V=\Pi_{2}(\mathbb{R})=\left\{p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: p(x)=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}, a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \). Gegeben sind die Vektoren
\( p_{0}(t)=0, p_{1}(t)=1 \cdot t, p_{2}(t)=2 \cdot(t-1) \text { und } p_{3}(t)=3 \cdot t^{2} \in V . \)

Prüfen Sie für die folgenden Tupel, ob sie linear unabhängig sind, ob sie ein Erzeugendensystem von \( V \) bilden und ob sie eine Basis von \( V \) sind:
a) \( \left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \),
b) \( \left(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \),
c) \( \left(p_{2}, p_{3}\right) \).
Viel Erfolg!

Answer 1

a)   linear unabhängig, Erzeugendensystem, Basis

b) enthält den 0-Vektor, also lin. abh., somit keine Basis.

wohl aber ein Erzeugendensystem, denn wenn man dem

Erzeugendensystem aus a) Vektoren hinzufügt,

bleibt es eines.

c) keine Basis, da kein Erzeugendensystem, aber lin. unabh.