Berechnung A vom Kreis

Question

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Klausur unter Abiturbedingungen 2025 Mathematik (EAN) / Teil 1 (hilfsmittelfrei)

Aufgabe 3. 3 (5 BE)

Für jeden Wert von t mit \( 5<\mathrm{t}<10 \) wird die gerade Pyramide \( O A_{t} B_{t} C_{t} S_{t} \) mit \( O(0 / 0 / 0) \), \( A_{t}(10-\mathrm{t} / 0 / 0), B_{t}(10-\mathrm{t} / \mathrm{t}-5 / 0), C_{t}(0 / \mathrm{t}-5 / 0) \) und \( S_{t} \) betrachtet. Die Punkte \( S_{t} \) haben jeweils die z-Koordinate 5.
a) Die Abbildung zeigt die Pyramide Für einen ganz bestimmten Wert Von \( t \). Ermitteln Sie das Volumen dieser Pyramide.
b) Betrachtet werden Kreise in der \( x y \)-Ebene. Für einen bestimmten Wert von \( t \) berührt ein Kreis jede der Seiten der Grundfläche der Pyramide.
Geben Sie einen Term zur Berechnung des Flächeninhalts dieses Kreises an und erläutern Sie Ihre zugrunde liegenden Überlegungen.
Aufgabe 3.4 (5 BE)

Könnte mir irgendjemand bei Aufgabe 3.3, Teilaufgabe b helfen?

Ich wäre sehr dankbar :)

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Klausur unter Abiturbedingungen 2025 Mathematik (EAN) / Teil 1 (hilfsmittelfrei)

Aufgabe 3. 3 (5 BE)

Für jeden Wert von \( t \) mit \( 5<\mathrm{t}<10 \) wird die gerade Pyramide \( O A_{t} B_{t} C_{t} S_{t} \) mit \( O \) (0/0/0), \( A_{t}(10-\mathrm{t} / 0 / 0), B_{t}(10-\mathrm{t} / \mathrm{t}-5 / 0), C_{t}(0 / \mathrm{t}-5 / 0) \) und \( S_{t} \) betrachtet. Die Punkte \( S_{t} \) haben jeweils die \( z \)-Koordinate 5 .
a) Die Abbildung zeigt die Pyramide Für einen ganz bestimmten Wert Von \( t \). Ermitteln Sie das Volumen dieser Pyramide.
b) Betrachtet werden Kreise in der \( x y \) - Ebene. Für einen bestimmten Wert von t berührt ein Kreis jede der Seiten der Grundfläche der Pyramide. Geben Sie einen Term zur Berechnung des Flächeninhalts dieses Kreises an und erläutern Sie Ihre zugrunde liegenden Überlegungen.
Aufgabe 3.4 (5 BE)

Answer 1

Es sollte klar sein, dass die Grundfläche in Abhängigkeit von t Rechtecke sind.

Ein Kreis (Inkreis) berührt alle 4 Seiten von innen, wenn dieses Rechteck ein Quadrat ist. Für t = 7.5 ergibt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge 2.5

Damit berechnet sich die Fläche des Kreises mit

A = pi·1.25² = 25/16·pi

Comments

Danke fürs nicht zu kompliziert machen :)

Also muss ich bei der Aufgabe doch einen Wert für A angeben?

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Also muss ich bei der Aufgabe doch einen Wert für A angeben?

Ja. Du musst zunächst t berechnen. Die Bedingung ist das B die gleiche x wie y Koordinate hat.

Weiterhin musst du dann die Seitenlänge des Quadrats ermitteln.

Zum Schluss machst du dir noch eine Skizze und ermittelst den Radius und den Flächeninhalt des Kreises.

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Danke fürs nicht zu kompliziert machen :)

Dinge werden dann kompliziert, wenn man die Tipps der Helfer ignoriert. Wenn man sowas nicht für die Prüfung beherzigt, kann es unter Umständen düster aussehen.

Auf die Erkenntnis, dass die Grundfläche dann ein Quadrat ist, sollten man im EAN mit einer Skizze nämlich von selbst kommen. Und dann kommt man vielleicht auch auf die Idee, dieses \( t \) zu bestimmen. Diese Herangehensweise ist übrigens auch notwendig, um sein Vorgehen erläutern zu können, was die Aufgabe verlangt.

Zum Schluss machst du dir noch eine Skizze

Entfällt, wenn man diese direkt von Anfang an macht. Siehe auch die Antwort von nudger. Zumal eine Skizze zum Schluss in der Regel nicht zielführend ist.

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Ich mache diese Aufgabe nur zur Prüfungsvorbereitung und zur Verständnis. Ich hatte in der Klausur eine 11 und das war eine Wahlteilaufgabe und dadurch das wir Kreis nicht So intensiv hatten, habe ich das von vornherein ausgeschlossen und jetzt im Nachhinein wollte ich die Aufgabe mal trotzdem probieren zu lösen. Jedoch hatten wir Kreis nicht zu sehr behandelt und habe die Anweisungen nicht ganz verstanden weswegen ich auf eine ausführlichere Hilfestellung gewartet habe und durch die Lösung ebend habe ich es nun verstanden und gut ist :)

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Du kannst ja nachfragen, wenn Du was nicht verstehst. Hast Du wirklich eine Skizze gemacht?

Aus meiner Sicht prüft die Aufgabe, ob man sich selbst einen Lösungsweg erarbeiten kann. Das lernt man nicht durch Nachlesen von Lösungen (es fühlt sich einfach an, wenn man die Lösung sieht - das ist aber was ganz anderes als sie selbst zu erarbeiten und diese Erkenntnis kommt spätestens in der Prüfung).

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Kreise sind ja auch Bestandteil der Unterstufe. In den meisten Bundesländern gehören Kriesgleichungen nämlich gar nicht zum Lehrplan. Da muss also nichts intensiv behandelt worden sein, um die Aufgabe zu lösen. Man muss halt wissen, wie ein Kreis aussieht. Die Flächenformel ist dann auch noch hilfreich.

Tipp: Verständnis baut man besser auf, wenn man selbst Versuche unternimmt und nicht auf eine ausführliche Lösung wartet. Der "Erfolg" wird nur von kurzer Dauer sein.

@nudger: Das sind dann Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III. Keine Seltenheit, dass der Großteil an so etwas scheitert.

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Stimmt aber nicht so ganz.

Ich habe ja meinen Überlegungen zu gemacht, jedoch war mir nicht bewusst das ich dies komplett durchkauen muss da in der Aufgabenstellung ein "Term verlangt wurde" .

Und wenn ich jetzt vor mir eine Skizze habe wo in einem Rechteck der Kreis drinne ist und ich mir diese skizze 30min angucke und einfach nicht auf die Lösung komme bringt es mir auch nicht weiter.

Außerdem sind viele Aufgaben mit demselben Prinzip aufgebaut und wenn man mithilfe der Lösunshilfen etwas ausführliches im Hefter aufschreibt, kann das schon etwas bringen :) (Erfahrungsgemäß bei mir hat es schon funktioniert)

Ich habe mich ja bei anderen Websiten schlau gemacht und bin ja auch selber dann mit der Seitenlänge darauf gekommen aber ob mit oder ohne skizze hätte ich es nicht gewusst, da halt auch sämtliche Grundlagen zum Kreis fehlen,aber dafür kann ich auch nichts.

Ich weiß auch das wir Unterstufe Kreis gefühlte 0,0% behandelt haben, da auch zwischendurch auch corona war.

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Wenn Du eine Skizze "mit Kreis drinne" hast, sollte Dir auffallen, dass das Rechteck ein Quadrat sein muss. Über "Kreis" musst Du nur wissen, dass er rund ist und, wie schon erwähnt, die Formel für den Flächeninhalt kennen.

Da Du Deine Skizze beharrlich für Dich behalten hast, konnte ich Dir auch nicht bei helfen. Vlt stimmt Deine Skizze, vlt auch nicht. Hätte man schnell klären können.

Die Erwähnung von "Term" in der Aufgabe ist zwar math. korrekt, aber finde ich auch etwas irreführend. Aber das Problem stellt sich erst ganz am Ende, nicht am Anfang der Lösung.

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Ich habe für die skizze einfach nur beispielsweise die Punkte aus a) genommen und da einen Kreis eingezeichnet, ob das jetzt ein Quadrat sein muss, war mir jetzt nicht bewusst aber dadurch bin ich ja dankbar wenn sowas dann geschrieben wird :)

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Das hattest Du ja im Dialog in meiner Antwort auch selbst festgestellt (die Seitenlängen müssen gleich sein).

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Der Begriff Term ist vermutlich irreführend. Bereits eine Zahl wie 7 ist ein Term.

Laut Wikipedia

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Ausgangspunkt sind die atomaren Terme, zu denen alle Zahlen (Konstanten) und Variablen gehören. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.

Schüler verwenden den Begriff häufig nur, wenn in Rechenausdrücken Platzhalter (Buchstaben) für Zahlen auftreten.

Aber ein Ausdruck wie 25/16·pi ist eben auch schon ein Term. Er bleibt es auch, auch wenn du ihn näherungsweise berechnen würdest.

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Das war auch genau mein Problem.

Terme haben wir meistens in Bezug zu Scharen etc. verwendet oder halt allgemeine Formeln zu Sachverhalten ohne spezifische Werte weswegen ich es nicht ganz kapiert habe.

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Er sagte nur, dass die überliegenden Seiten gleichgroß sein müssen. Das erfüllt allerdings jedes Rechteck. Erkenntnisgewinn also gleich 0.

Und gerade, weil andere Aufgaben ähnlich sind, hilft es da herzlich wenig, wenn man sich sowas vormachen lässt, ohne sich selbst großartig Gedanken gemacht zu haben. Und dass man sich die nicht ausreichend gemacht hat, zeigt die fehlende Erkenntnis über das Quadrat. Oder es wurde nicht korrekt kommuniziert.

Von vielen solcher eigenständigen Gedankengängen und Versuchen profitiert man langfristig. Von Musterlösungen nicht. Sonst hätten alle großen Mathematiker gar keine Mathematik betreiben können.

Wenn das mit dem Term das Problem war, warum fragt man dann nicht gezielt nach?

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@am Oha, da hast Du natürlich recht mit den gegenüberliegenden Seiten. Hab ich nicht richtig gelesen und damit ging meine Hilfe ab da ins Leere (auch, weil sie ja ohne Skizze auskommen musste).

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@am habe ich doch dann gemacht wo nudger spezifischer wurde?

Ich wusste es doch am Anfang garnicht wie oben erläutert.

Und das mit gegenüberliegende Seiten habe ich nicht ganz zu Ende ausgeführt merke ich auch gerade.

Meinte dann damit das OAt+ BtCt= AtBt+OCt sein muss aber das ist mein Fehler, sorry

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Ja, nach dem Term hast Du gefragt, aber wie gesagt, diese Frage stellt sich nicht am Anfang, sondern erst ganz am Ende.

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Im Nachhinein habe ich auch gemerkt das ich nudger Anfangsnachricht falsch gelesen hatte xD

Dachte erst das war eine Fragestellung an mich und es klang so das er gerade überlegt was gelten könnte und gerade eine Skizze macht, deswegen meine erste Antwort auf die Nachricht.

Habe davor schon Aufgaben gemacht und habe auch schon genug von Mathe (die ganze Woche) . Sorry an euch aber ich bedanke mich trotzdem für euer Engagement.

Answer 2

Was hast Du schon probiert? Mach eine Skizze der Grundfläche in 2d, überlege, was für die Seiten gelten muss, damit ein Kreis die vier Seiten berührt.

Comments

Dadurch, das es eine Hilfsmittelfreie Aufgabe ist könnte es eigentlich nicht zu schwer sein, jedoch habe ich keine Lösungen dazu und mir fehlt jeglicher Ansatz (wie bei dir gerade) um diese Aufgabe zu lösen :(

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Z ist ja aufjedenfall 0, also könnte man eine Kreisgleichung aufstellen, theoretisch

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Ich hab Dir ja nen Tipp gegeben (darin steht nichts von einer Gleichung). Noch ein Tipp: Der Kreis könnte innerhalb der Grundfläche liegen. Lade als nächstes also Deine Skizze mit eingezeichnetem Kreis hoch.

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Naja es wird ja als Flächeninhalt A:Pi*r² gemeint sein. (Hoffe darauf würde es wenigstens ein Punkt geben)

Und je nachdem wie der radius vom Innenkreis gewählt wird, berührt er alle 4 Seiten? und dies ist ja im Abhängigkeit von t. Hätte ich jetzt gedacht

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So weit so gut. Beachte meinen Tipp "überlege..." - das solltest Du leicht an der Skizze erkennen. Lade die nun hoch.

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Die gegenüberliegenden Seiten müssen gleich groß sein?

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Ja. Dein Ergebnis für A wird dann was?

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A= Pi * \(( \frac{(10-t)*(t-5)}{5} \)) hoch 2

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Wie kommst Du darauf? Bestimme das t, dann r, und dann A. Weitere Hilfe, wenn Du die Skizze mit Seitenbezeichnungen hochlädst.

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Ich soll doch nur einen Term angeben und nichts berechnen?

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Ich wiederhole meine Frage: Wie kommst Du darauf?

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Der obere Teil ist der Flächeninhalt A

und der untere war der Umfang wo ich auf 5 kam

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U stimmt nicht und brauchst Du auch nicht. Willst Du nicht damit zügig fertig werden? Nochmal: LADE DEINE SKIZZE MIT SEITENLÄNGENBEZEICHNUNGEN HOCH (alternativ, da Du diesen Wunsch ignorierst: wie lauten die Seitenlängen?, wende Deine Erkenntnis an, bestimme t, dann r, dann den Term für A.

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Keinen Wert für A, sondern einen Term (mehr geht ohne TR) nicht.

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r= A/s (laut Wikipedia)

Und für die Strecke komme ich dann auf 5 weil ich t wegkürzen kann und komme dann auch auf die 1,25 die in einer obigen Lösung von jemand anderem geschrieben wurde :)

Also ist U doch relevant? (denke ich)

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Mein Ziel war Dir zu helfen die Lösung auf einfachem Weg selbst zu finden. Wenn Du auf U beharrst, wikipedia benutzt (ich dachte hilfsmittelfrei?!), wird es eben komplizierter. Ich weiß auch nicht, welche Strecke Du meinst. Aus der Skizze wird alles klar...

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Ja sorry das ich Wikipedia benutze wenn ich mit deinen Ansatz nicht klarkomme :/

Ist doch alles gut und habs durch die obige Lösung verstanden

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Durch Wikipedia wusste ich erst das mit dem Innenkreis weil wir Kreis nie zu intensiv im Unterricht hatten, deswegen musste ich mich irgendwie probieren zu behelfen und ich dein Ansatz nicht ganz kapiert habe

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Du hast ja festgestellt, dass die Seitenlängen gleich sein müssen. Damit findest Du t, damit r, damit A. Ganz unkompliziert.

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Was man an 'fertige eine Skizze an' nicht verstehen kann, weiß ich auch nicht. Wenn unklar ist, was für eine Skizze, sollte man das mitteilen. Aber sowas einfach zu ignorieren, führt eben nicht zum Ziel.

Natürlich hast du es "verstanden", weil man dir alles vorgekaut hat. In der Prüfung wird dir das allerdings nicht weiterhelfen.