Zeigen Sie, dass AB eine Matrix vom gleichen Typ ist.

Question

Aufgabe:

Für eine natürliche zahl \(n\) seien \(A = (a_{ij}) \in \mathbb R^{n \times n} \) und \(B = (b_{ij}) \in \mathbb R^{n \times n} \). Es gelte nun \((a_{ij})=0\) und \((b_{ij})=0 \:\:\: \forall i,j: \:\: 1 ≤ i < j ≤ n \)

Zeigen Sie, dass AB eine Matrix vom gleichen Typ ist.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass die Matrix oberhalb der Diagonale nur aus Nullen besteht und in jeder Zeile \(n-i\) Nullen, und in jeder Spalte \(j-1\) Nullen sind. In jeder Spalte gibt es also eine Null mehr als in der vorherigen.

Bei Multiplikation von AB kommt in jeder Zeile von A ein weiteres Element \(≠0\) dazu, in jeder Spalte von B jedoch auch eine Null. So bildet sich die Diagonale, da so nur \(a_{ij}, b_{ij}\) mit den gleichen Indexes übrig bleiben und die Grenze zu den Nullen oberhalb bilden.

Wie geht es jetzt weiter?? Vielen Dank!

Answer 1

Du brauchst eigentlich nur das Produkt der Matrizen elementweise aufschreiben und zeigen, dass die Produktmatrix \(AB\) die gegebene Bedingung erfüllt:

$$AB = (c_{ik}) \text{ mit } c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}$$

Zu zeigen ist nun, dass

$$c_{ik} = 0 \text{ für } 1 \leq i < k \leq n$$

Sei also \(1 \leq i < k \leq n\): (Achte auf die Indizes.)

$$c_{ik} = \sum_{j=1}^n \underbrace{a_{ij}}_{\stackrel{=0}{\text{ für } \color{blue}{i}<j} }b_{jk} = \sum_{j=1}^{\color{blue}{i}} a_{ij} \underbrace{b_{jk}}_{\stackrel{=0}{\text{ für } j\leq {\color{blue}{i}}<k} } = 0$$

Also hat \(AB\) die gewünschte Eigenschaft.

Comments

Hey, erst einmal vielen Dank! Mit der Summenschreibweise ist es sooo kompakter

Aber was bedeutet das k? Also woher kommt der Index k im Matrixprodukt? Bzw. Weshalb ist noch immer A=a_ij aber B=b_jk?

Die Indizes waren ja Anfangs gleich…

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Beim Multiplizieren der Matrizen benötigst du einen dritten Index, denn du "multiplizierst" ja die i-te Zeile der Matrix A mit der k-ten Spalte der Matrix B. Ich habe hier j als Summationsindex gewählt.

Ich hätte auch schreiben können:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$$
Dann wäre k der Summationsindex.

Die Rechnung wäre die gleiche geblieben, nur mit ausgetauschten Indizes.

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Vielen vielen Dank!!!!