Bestimmen Sie eine Basis vom Kern der linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis vom Kern der linearen Abbildung $$\phi:P_3(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R^3},p\mapsto \begin{pmatrix}p(-1)\\p(0)\\p(1) \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt versucht eine Darstellungsmatrix bzgl. der Basis der Monome und der Standardbasis des $$\mathbb{R^3}$$ zu finden. Leider komm ich überhaupt nicht weiter. Hätte da jemand einen allgemeinen Ansatz, wie man dieses Problem angehen könnte ?

Comments

Hallo,

sollte man nicht zunächst den Kern der Abbildung bestimmen, also alle Polynome vom Grad 3 (Höchstgrad) mit p(-1)=p(0)=p(1)=0?

Gruß

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Also jedes Polynom vom Grad <=3 kann man ja so schreiben:

$$p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$$ Wenn jetzt $$p(0)=p(-1)=p(1) =0$$ gelten muss erhält man 3 Bedingungen $$p(0)=a_0=0$$

 $$ p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3=0$$

$$ p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3=0$$

Also : $$Kern\begin{pmatrix} 1 &0&0&0\\ 1&-1&1&-1\\1&1&1&1\end{pmatrix}=<\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}>$$

Damit ist $$dim(Kern(\phi))=1$$ und eine Basis des Kerns gegeben durch $$B=(t-t^3)$$

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Ja, und schon ist alles geklärt.

Gruß