Darstellende Matrix einer linearen Abbildung φ: ℝ3 → ℝ3, deren Bild durch 2 Vektoren erzeugt wird, bestimmen.

Question

Aufgabe:

Geben Sie die darstellende Matrix einer linearen Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \) deren Bild durch die Vektoren

\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) \)

erzeugt wird und bestimmen Sie eine Basis des Kern( \( \varphi \) ).

Wie muss ich vorgehen bzw. welche Schritte muss ich machen, um diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Was ist mit der Matrix M =

[1   4     0

2    5   0

3    6    0 ]

?

Untersuche die mal und bestimme z.B. deren Kern.

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ker+((1+,++4+,++++0),(++2+,+++5,+++0)+,+(3+,+++6+,+++0+)) 

Comments

Danke für die schnelle Antwort :)
Dies ist nun die Darstellungsmatrix, wenn ich das richtig verstanden habe?
Also nimmt man die beiden Vektoren und fügt einen dritten hinzu der (0, 0, 0) enthält, damit das Bild, das sie erzeugen, nicht verändert wird, verstehe ich das richtig?
Hab noch so meine Probleme mit diesem Themengebiet :/

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In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der (Standard)Basisvektoren. Meine Matrix bildet also (1,0,0) auf (1,2,3), (0,1,0) auf (4,5,6) und (0,0,1) auf (0,0,0) ab.

Der Rest ergibt sich automatisch.