Basis von Bild und Kern einer linearen Abbildung: Φ: R^3 → R^3 mit Φ(x,y,z) = (x-5y+2z, -x+3y-4z, y+z).

Question

Betrachtet wird folgende lineare Abbildung    Φ: R^3 → R^3 mit Φ(x,y,z) = (x-5y+2z, -x+3y-4z, y+z). 
 Zu Bestimmen ist jeweils Basis von Bild(Φ) und Kern(Φ).

Answer 1

Φ: R^3 → R^3 mit Φ(x,y,z) = (x-5y+2z, -x+3y-4z, y+z). 

hat die Abbildungsmatrix

1, -5, 2

-1, 3, -4

0, 1, 1

Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix spannen das Bild auf.

Ich nenne sie mal v1, v2 und v3 und sehe 7*v1 + v2 = v3

Da v1 und v2 voneinander linear unabhängig sind, bilden v1 und v2 eine Basis des Bildes.

Nun musst du den Kern aber noch berechnen. Es muss Vektoren v≠0 geben, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Berechne einen und gib ihn als Basis des Kerns an. 

Comments

so als erstes vielen dank und ich habe folgende fragen: 

wie sehe ich so schnell, welche vektoren mit welchen linear unabhängig sind. probierst du einfach xv+yv=0 und schaust ob es hinhaut? 

und das mit dem kern verstehe ich generell. muss ich nicht einfach (x,y,z) (A) = 0 machen? wenn ja , ist das nicht eine Methode um den Kern zu ermitteln? geht es hier nicht um die basis vom Kern?

edit : ok ich habe es nicht genau verstanden mit dem Kern könntest du mir das eventuell auch noch erläutern?

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x-5y+2z =0       (I)

-x+3y-4z =0      (II)

 y+z =0            (III)

(III) ==> y = -z

Annahme y=1, dann z=-1

in (I) einsetzen

x-5-2=0

==> x=7

Kontrolle in (II)

-7 +3+4 =0

B={(7,1,-1)} ist eine Basis des Kerns.

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super vielen dank ich verstehe es so langsam.

was wäre der unterschied wenn nur der Kern verlangt worden wäre statt die basis vom kern?

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Dann schreibst du

Kern von phi ist Kern(Φ) = {t*(7,1,-1) | t Element R}

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ich hatte fast dasselbe wie du gemacht und kam auf den kern <(-7,-1,1)> da bei mir 

x = -7z

y=-z

z=1

ist das auch eine richtige basis vom kern?

oder habe ich irgendwo einen entscheidenden fehler gemacht?

edit : natürlich müsste es stimmen, da es im LGS auch 0 ergibt

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ist das auch eine richtige basis vom kern?

Ja. Vergiss beim Angeben einer Basis B=... Menge die Mengenklammern nicht.

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wie sehe ich so schnell, welche vektoren mit welchen linear unabhängig sind. probierst du einfach xv+yv=0 und schaust ob es hinhaut? 

Wenn einer in einer Komponente eine 0 hat und der andere nicht, sind die beiden bestimmt nicht lin. abh.

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hey ich habe noch eine frage zu deiner abbildungsmatrix die du oben angegeben hattest 

1, -5, 2

-1, 3, -4

0, 1, 1

woher weiß ich wie rum ich so eine matrix aufschreibe?

ich hätte es so gemacht : 

1 -1 0

5 3 1

2 -4 1

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Die Matrix mal den Spaltenvektor (x,y,z) muss den Spaltenvektor (0,0,0) geben.

Daher sollten in jeder Zeile Koeffizienten von x, y und z in dieser Reihenfolge stehen.