Weisen Sie nach, dass φ eine lineare Abbildung ist. Bestimmen Sie Kern und Bild von φ.

Question

Aufgabe:

(a) Wir betrachten die Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit

\( \varphi\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} x-y \\ y-x \\ x \end{array}\right] \)

(i) Weisen Sie nach, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist.

(ii) Bestimmen Sie den Kern von \( \varphi \).

(iii) Bestimmen Sie das Bild von \( \varphi \).

(b) Gegeben ist die Abbildung \( f: \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) mit \( f(A)=A M-M A \), wobei \( M=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right] \) ist.

(i) Zeigen Sie, dass \( f \) eine lineare Abbildung ist.

(ii) Ermitteln Sie den Kern von \( f \).

Comments

Du brauchst für i) nur den ersten Teil:

"Prüfst du, ob   f(x1+x2 ,  y1+y2)  =  f (x1,y1) + f (x2 , y2)
und   f(a* x1,a*y1))  =   a*   f (x1,y1)
ausrechnen, und du siehst: stimmt jeweils"

Du wählst dir Vektoren (x1,y1) und (x2,y2)

Und setzt diese einfach ein so wie vorgegeben ein.

Zum 1. Kriterium:

f(x1+x2 ,  y1+y2) =

x1+x2-y1-y2

y1+y2-x1-x2

x1+x2

Das wäre die linke Seite, jetzt schau dir die rechte Seite an.

Answer 1

  Prüfst du, ob   f(x1+x2 ,  y1+y2)  =  f (x1,y1) + f (x2 , y2)
und   f(a* x1,a*y1))  =   a*   f (x1,y1)
ausrechnen, und du siehst: stimmt jeweils

Ansatz f(x,y) = (0,0,0) gibt drei Gleichungen, die alle stimmen müssen.
bleibt nur x=y=0

Bild: brauchst du nur umzuschreiben:
(x-y, y-x,x)  =    (x,-x,x) + (-y,y,0)  also ist
(1,-1,1), (-1,1,0) eine Basis von Bild(f)

Answer 2

Nur mal zu a (i)

Wenn du die Abbildungsmatrix für angibst, ist gemäss Satz (....SKRIPT KONSULTIEREN) klar, dass die Abbildung linear ist.

Satz Nr. (....) : In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der 'üblichen' Basisvektoren.

Phi( (1,0) )= (1, -1, 1)

Phi ( (0,1)) = (-1, 1, 0)

Abbildungsmatrix M =

[ 1   - 1

.  -1   1

.  1    0 ]