Die von dir angegebenen Funktionen sind aber für alle \(m>2\) symmetrisch, was die Aufgabe dann natürlich entsprechend vereinfacht. Wieso über Dinge nachdenken, um die es gar nicht geht (kann man als Übung natürlich immer mal machen)? Das kostet in einer Prüfung nur unnötig Zeit. Deswegen ist es auch wichtig, solche Auffälligkeiten zu erkennen und zu nutzen.
Die Argumentation mit der Symmetrie funktioniert bei nicht symmetrischen Funktionen natürlich nicht. Aber da hilft dann der Standardansatz über die Ableitungen, der je nach Funktion aber auch aufwendig sein kann. Probiere doch dasselbe mal mit der Funktionenschar \(f(x)=x^n\mathrm{e}^{x^2}\).
Eine Alternative für das hinreichende Kriterium ist übrigens das Vorzeichenwechselkriterium, was sich hier auch gut anbietet. Da kann man nämlich auch über eine Fallunterscheidung zeigen, dass entweder ein HP vorliegt oder ein Sattelpunkt und damit ein Wendepunkt.
