Aloha :)
Um das Besteck der linearen Algebra nutzen zu können, wählen wir als Basis$$B\coloneqq(x^2;x;1)$$und stellen die lineare Abbildung mit Hilfe einer Abbildungsmatrix dar:
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}a+c\\b+c\\0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$
zu 3) Bestimmung von Bild und Kern
Wir erkennen sofort die unabhängigen Spaltenvektoren und damit das Bild der Matrix:$$\operatorname{Bild}(f)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\,\right)$$Man erkennt auch sofort die unabhängigen Zeilenvektoren und kann daraus zwei Bedingungsgleichungen für den Kern ableiten:$$x_1+x_3=0\;\land\;x_2+x_3=0\quad\text{bzw.}\quad x_1=-x_3\;\land\;x_2=-x_3$$Die Vektoren des Kerns lauten daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir den Kern der Abbildung gefunden:$$\operatorname{Kern}(f)=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
zu 1) Prüfen, ob Elmente im Kern liegen:
$$x^2-x-1\equiv\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\not\in\operatorname{Kern}(f)$$$$x^2+x-1\equiv\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=(-1)\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\in\operatorname{Kern}(f)$$
zu 2) Prüfen, ob Elemente im Bild liegen:
$$2x^2-x\equiv\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\in\operatorname{Bild}(f)$$
$$x^2-x+2\equiv\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\not\in\operatorname{Bild}(f)\qquad\text{(Die \(x_3\)-Komponente ist immer \(=0\))}$$
