Konvergieren oder divergieren von Reihen

Question

Aufgabe:

a) Ist folgende Reihe konvergent?

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{e^{n}} \)

b) Ist folgende Reihe konvergent?

\(\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n}}{n+1} \)

c) Berechnen Sie

\(\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich kenne:

- Leibniz-, Wurzel-, und Quotientenkriterium

- Monotonie und Beschränkungen

- Majoranten- und Minorantenkriterium

Trotzdem falle ich immer wieder auf meine falsche Intuition herein. Ich erkenne kaum, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist. Ich habe inzwischen auch einige Aufgaben geübt und scheitere dennoch immer wieder. Gibt es Tips, wie ich vorgehen kann, um die angehängten Aufgaben zu lösen?

Zum Majoranten-/ Minorantenkriterium: In der Vorlesung wurde einmal a_k ≤ b_k gezeigt, dann wiederum hat der Prof die Differenz der Reihen berechnet und das Ergebnis miteinander verglichen. Was ist der richtige Weg? Ist das Majoranten- und Minorantenkriterium nach Bauchgefühl einzusetzen, also wenn ich denke, dass die Reihe konvergiert, probiere ich das Majorantenkriterium?

a) konnte ich durch das Quotientenkriterium lösen, bin aber dennoch unsicher, ob das der richtige Weg ist.

b) Hier sehe ich eine alternierende Reihe, also ist die Reihe nach Leibnis konvergent, wenn der Rest eine monoton fallende Nullfolge ist. Wie finde ich Nullfolgen heraus? Vielleicht bin ich inzwischen auch zu verkopft.

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Auf die Reihe in a) könnte man alternativ auch das Majorantenkriterium anwenden.
Für \(n\ge1\) gilt bekanntlich \(\mathrm e^n>\frac1{120}n^5\) und damit \(\,\dfrac{n^3}{\mathrm e^n}<\dfrac{120}{n^2}\).

Answer 1

a) konnte ich durch das Quotientenkriterium lösen, bin aber dennoch unsicher, ob das der richtige Weg ist.

Grundsätzlich ist es eine gute Wahl, wenn du damit Konvergenz oder Divergenz nachweisen kannst. Auch ich hätte das Quotientenkriterium genommen.

b) Hier sehe ich eine alternierende Reihe, also ist die Reihe nach Leibnis konvergent, wenn der Rest eine monoton fallende Nullfolge ist. Wie finde ich Nullfolgen heraus? Vielleicht bin ich inzwischen auch zu verkopft.

Sehr gut. Du brauchst also nur den Grenzwert für n → unendlich von

√n/(n + 1)

Du könntest hier den Bruch mit n kürzen und dann schauen, was der Grenzwert des Zählers und was der Grenzwert des Nenners ist

√n/(n + 1) = (1/√n) / (1 + 1/n)

Siehst du jetzt, dass das eine Nullfolge ist, dass also der Ausdruck gegen Null geht, wenn n unendlich groß wird?

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Ja, vielen Dank!

Answer 2

Kleiner Tipp zu b)

 \(\frac{\sqrt{n}}{n+1}\) <  \(\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}\) .

Der rechte Term kann durch kürzen vereinfacht werden und geht dann erkennbar gegen 0, dann muss es der linke Term erst recht tun.

Answer 3

ob das der richtige Weg ist.

Es gibt nicht "den" richtigen Weg, es gibt meist mehrere richtige Wege. Um die nötige Intuition zu entwickeln, gibt es ein Rezept: üben, üben, üben. Also selbst rechnen (nicht Lösungen nachlesen). Bei Unsicherheit über Deine Rechnung poste sie gerne hier zur Kontrolle.

Für a) ist in der Tat das QK eine gute Wahl. Wie gesagt, poste gerne Deine Rechnung (die Reihe konvergiert).

Für b) ist das Leibniz-K gut. Prüfe also, ob \(\frac{\sqrt{n}}{n+1}\) eine monoton fallende Nullfolge ist (ja, ist es).

Bei Unklarheit der Begriffe Definitionen von früher nachschlagen. Und generell: Wenn man bei Folgen nicht fit ist, wird es bei Reihen nicht einfacher.

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Text erkannt:

Kausur Ni. 2
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{e^{n}} \), Quotientenkiterium:
\( \begin{array}{l} \frac{(n+1)^{3}}{\frac{e^{n+1}}{n^{3}}}=\frac{(n+1)^{3}}{e^{n}} \cdot \frac{e^{n}}{n^{3}}=\frac{(n+1)^{3}}{n^{3}} \cdot \frac{1}{e}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3} \cdot \frac{1}{e} \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3}=1 \end{array} \)
arenzwert: \( \frac{1}{e}, \frac{1}{e}<1 \rightarrow \) nach Quorientenksiterium konvergiert die Reine
b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n}}{n+1},(-1)^{n} \) : alturniesende Reihe LLeloniz
\( \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) muss eine monoton fallende mullfage sein.
\( \rightarrow \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) ist jedoon diverght, Weshalb due gonze Reihe divegint.
c) Bejechne \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} \)
\( S=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4} \)

Bei C) ist nun noch meine Frage: ich hätte einfach Zahlen eingesetzt und so gesehen, dass die Reihe gegen 1/4 konvergiert. Nachdem ich gegoogelt habe, kam diese Formel für geometrische Reihen auf. Gibt es diese auch noch für andere Reihen oder ist das Einsetzverfahren in Ordnung?

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Zu a): Gut und richtig. Die Schreibweise kannst Du noch verkürzen:

\(...(1+\frac1n)^3\cdot\frac1e \to \frac1e <1\), also nach QK konvergent.

Zu b): Wie schon gesagt, die Folge ist eine mon. f. Nullfolge, womit per LK die Reihe konvergiert.

Zu c): Es gibt schon auch für andere Reihen noch Formeln, warte mal die Vorlesung ab (würde hier zuweit führen). Die Formel für die geometrische Summe bzw. Reihe darf man ruhig auswendig kennen, sie kommt in unzähligen Situationen vor.

Wenn man sie hier benutzt, sollte man so etwas wie "geometrische Reihe mit \(q=\frac15<1\) dabei sagen. Deine Rechnung stimmt. Ich hätte geschrieben: \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{5^n} = \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac15)^n-(\frac15)^0 = \frac1{1-\frac15}-1=\frac14\).

Werte einsetzen und ausprobieren ist als erste Überlegung ok, um eine Vermutung zu bekommen. Einen Nachweis kann man so nicht führen.

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Tatsächlich sind wir am Ende des Semesters und es kamen keine Formeln zur Berechnung drin vor. Jedoch kommt die Aufgabe aus der Klausur. Mein Prof. Hat leider auch kein eigenes Skript, deshalb ist es schwierig den Überblick zu behalten. Ich Google sonst im Zweifel nochmal. Ich danke euch sehr!

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Dann brauchst Du aktuell auch keine weiteren Formeln. Sollte die geometrische Reihe gar nicht in der Vorlesung vorgekommen sein (genau prüfen), dann ist möglicherweise die Aufgabe so gedacht, dass man über Einsetzen (so wie Du es wolltest) auf den Grenzwert 1/4 kommt. Aber nur dann. Die geometrische Summe bzw. Reihe ist so wichtig, die wird sicher nicht ausgelassen im Lehrstoff.