Hyperbelgleichung durch gegebenen Punkt und Asymptote ermitteln?

Question

Aufgabe:

Hyperbelgleichung durch gegebenen Punkt und mit gegebener Asymptote ermitteln:

Von einer Hyperbel ist ein Punkt P=(\( \frac{15}{2} \),8) und eine Asymptote als: 4·x+3·y=0 bekannt. Ich soll die Gleichung der Hyperbel bestimmen.

Weiß leider nicht wie ich vorgehen soll

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So sieht mein Ansatz und Lösung für die Parameter aus.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\frac{7,5^{2}}{a^{2}}-\frac{8^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{b}{a}=\frac{4}{3} \quad \Rightarrow a=4,5 ; b=6\end{array} \)

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was soll ich jetzt mit den zwei ausdrücken machen um auf a und b zu kommen

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Du hast 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Klingelt da etwas bei dir?

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also wenn ich 4 und 3 bei a und b einsetze, kommen bei mir nicht diese zahlen raus

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Du sollst auch nicht 4 und 3 für a und b einsetzen.

Der Quotient b/a hat den Wert 4/3

b/a = 4/3 → a = 3/4·b

Du kannst das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

Ich hätte aber vermutlich erst die eine Gleichung quadriert

a = 3/4·b
a² = 9/16·b²

Jetzt also in die erste Gleichung einsetzen und Auflösen.

Skizze

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also ich hab es auf b umgeformt: b=\( \frac{4}{3} \)*a und eingesetzt in die ausquadrierte gleichung: \( \frac{56.25}{a²} \) - \( \frac{64}{16/9} \) kommt bei wurzel aus a gezogen heraus 1,23299.....

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$$\frac{7.5^2}{a^2} - \frac{8^2}{b^2} = 1 \newline \frac{56.25}{a^2} - \frac{64}{\frac{16}{9} \cdot a^2} = 1 \newline 56.25 - \frac{64}{\frac{16}{9}} = a^2 \newline 56.25 - 36 = a^2 \newline 20.25 = a^2 \newline a = 4.5$$

Answer 1

(4x)²=16x²; (3y)²=9y². Ansatz 16x²-9y²=a. P(15/2|8) einsetzen um a zu bestimmen.

Comments

warum -a und nicht +a