Tangentensteigung verändern?

Question

Aufgabe:

Tangentensteigung verändern? (Geogebra)

Problem/Ansatz:

Dieses Beispiel soll mit Geogebra gelöst werden, hoffe, jemand von euch kennt sich damit aus ☺

Gegeben sind eine Parabel y² =8*x und eine Gerade g: x+4*y=-2 Verändere die Steigung der Geraden so, dass sie eine Tangente wird.

Text erkannt:

\( \text { par : } y^{2}=8 x \)
\( E N \)
0
0
\( \begin{array}{l} g: x+4 y=-2 \\ =y=-0.25 x-0.5 \end{array} \)
Eingabe.

Comments

Du solltest beachten, daß Deine Parabel keine Funktion ist. Warum nicht? Was muß man tun?

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Für die Aufgabe ist das unerheblich.

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Wenn Du die Gerade, die ja durch den Punkt (0│-1/2) geht, senkrecht machst, dann wird sie zur Tangente an die Parabel. Aber wahrscheinlich soll die Geradensteigung so gewählt werden, dass sie den unteren Parabelast berührt.

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Wohl kaum, da die Gerade ja nicht durch (0,0) läuft.

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Wohl kaum, da die Gerade ja nicht durch (0,0) läuft.

Wenn man die Steigung auf unendlich stellt, dann schon.

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Auch dann nicht.

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Auch dann nicht.

Nur dann.

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In keinem Fall. Na gut, wenn man mit \(\infty\) rechnet, kann man alles erzielen.

Ein sauberer Weg wäre, in der Gleichung \(x+4y=-2\) (nur die ist gegeben) die 4 durch 0 zu ersetzen. Dann ist es eben keine Tangente.

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Die Aufgabe ist in sofern nicht eindeutig gestellt, da nicht angegeben ist, was an der Geraden konstant bleiben soll, wenn ihre Steigung geändert wird. Die Ausgangsgerade ist nicht in der Form \(y=mx+b\) angegeben, sondern in einer Normalenform.

Die Annahme, dass der Schnittpunkt mit der Y-Achse (also das \(b\)) erhalten bleiben soll ist daher implizit und nicht in der Aufgabenstellung gegeben. Somit wäre IMHO jede zu der Ausgangsgeraden nicht parallele Tangente an die Parabel eine mögliche Lösung. Und davon gibt es unendlich viele.

Man könnte z.B. genauso gut annehmen, dass der Abstand der Geraden zum Ursprung erhalten bleiben soll. Also der Wert der rechten Seite in der Hesseschen Normalenform.

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Somit wäre IMHO jede zu der Ausgangsgeraden nicht parallele Tangente an die Parabel eine mögliche Lösung.

Sicher nicht.

Die rechte Seite hat nichts mit der Steigung zu tun, also ist sie fix. Für mich ist das mehr als eindeutig formuliert und sogar fett hervorgehoben.

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Die rechte Seite hat nichts mit der Steigung zu tun, also ist sie fix

Na ja - genau das war ja mein Vorschlag!

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In der Geradengleichung

ax + by = -2

kann man die rechte Seite auf jeden beliebigen Wert ungleich Null bringen, indem man a und b verändert.

Sogar der Grenzfall für a --> ∞ und b = 0 ergibt die Gerade x = 0.

Man müsste also ausschließen, dass man a und b gleichzeitig unabhängig verändern darf, ansonsten könnte man jede Gerade bekommen.

Daher müsste ich Werner-Salomon recht geben, dass die Aufgabenstellung nicht eindeutig ist. Ich halte es für legitim, wenn man die Gerade als Funktionsgleichung schreibt und dann ausschließlich der Wert vor dem x als Steigung ändern darf.

D.h. man müsste annehmen, dass nur a und nicht b verändert werden darf. Man könnte auch annehmen, dass a und b verändert werden dürfen, dabei aber die Länge des Vektors [a, b] nicht verändert werden darf. Dann würde der Abstand zum Ursprung immer gleich bleiben.

Answer 1

Die Lösung der Gleichung

\(\displaystyle -\sqrt{2} \cdot x^{-1 / 2}=\frac{-\sqrt{8 x}+\frac{1}{2}}{x} \)

führt zur Berührstelle x = 1/8 und das zur Steigung m =  - 4.

Siehe auch Skizze weiter oben in meinem Kommentar.

Answer 2

Ich habe die Parameter für die Geradengleichung in a und b umgeändert und dann ein bisschen probiert, wo die Gerade die Parabel berührt. Es müsste aber 2 Tangenten geben.

Comments

Es sollte nur die Steigung der Geraden verändert werden. Rumprobieren wird auch wohl kaum als Lösung akzeptiert werden.

Answer 3

Gegeben ist folgende Kurve

y^2 = 8·x

Nur wenn die Gerade nicht senkrecht verläuft, können wir generell von einer Steigung sprechen. Dann können wir auch die Gerade lieber als Funktion schreiben.

Die Frage wäre demnach, wie muss die Steigung m der Geraden mit dem y-Achsenabschnitt - 1/2 sein, damit sie eine Tangente an die gegebene Kurve ist.

y = m·x - 1/2

Grafisch kann man also einfach ein Schieberegler für m bestimmen und dann rein optisch einen Wert suchen, sodass die Gerade eine Tangente ist. Grafisch müsste m dann ungefähr -4 sein.

Wir können das überprüfen, indem wir die Gerade nach x auflösen.

y = m·x - 1/2 → x = (2·y + 1)/(2·m)

und das jetzt in die Kurve für x einsetzen.

y^2 = 8·(2·y + 1)/(2·m)
y^2 = (8·y + 4)/m
m·y^2 = 8·y + 4
m·y^2 - 8·y - 4 = 0

Damit es nur eine Lösung gibt, müsste die Diskriminante 0 sein.

D = (- 8)^2 - 4·m·(- 4) = 16·m + 64 = 0 → m = -4

Für die Steigung m = -4 ist die Gerade also eine Tangente an die Kurve.

Comments

In Geogebra könnte das dann wie folgt aussehen:

https://www.geogebra.org/classic/ytbcz5m5

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vielen dank!!!