Ermitteln Sie die kartesische Gleichung der senkrechten Tangenten an der Graden g auf dem Kegel/Kegelschnitt

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die kartesische Gleichung der senkrechten Tangenten an der Graden g der Gleichung x-3y = 9 auf dem Kegel/Kegelschnitt der Gleichung x² + \( \frac{y^2}{9} \) = 1

Problem/Ansatz:

Gerade g: y = \( \frac{1}{3} \)x - 3

Ellipse: x² + \( \frac{y^2}{9} \) = 1

Ich habe mir ein Bild der Situation gemacht und kann entnehmen, dass es zwei Tangenten der Ellipse gibt, die senkrecht zu dieser Geraden sind.

Da die Tangenten ja senkrecht zu g sind kann ich die Steigung der Tangenten festlegen:

t₁: y = -3x + p

t₂: y = -3x + p

Mein Problem ist jetzt, wie finde ich dieses p, also den y-Achsenabschnitt der Tangenten?

Comments

Statt "Kegel" meinst du wohl "Kegelschnitt", oder?

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Ja, genau. Kegelschnitt der Ellipse.

Answer 1

Noch n Gedicht:

Tangenten haben nur einen Schnittpunkt mit

\(q(x,y):=x^{2} + \frac{1}{9} \; y^{2} - 1\) =0

d.h., wenn wir den bestimmen durch Einsetzen Deiner Tangentenform

q(x,-3x+p)

\(x^{2} + \frac{1}{9} \; \left(p - 3 \; x \right)^{2} - 1\) = 0

haben wir genau einen Schnittpunkt

\( \left\{ x = \frac{p + \sqrt{-p^{2} + 18}}{6}, x = \frac{p - \sqrt{-p^{2} + 18}}{6} \right\} \)

wenn die Wurzel wegfällt ↦ p=±✓18

Answer 2

Gemeinsame Punkte zweier geometrischer Objekte, die in From von Gleichungen volrliegen, findet man indem man die Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammenfasst und dieses löst.

Da die Tangenten ja senkrecht zu g sind kann ich die Steigung der Tangenten festlegen:

Außerdem hat die Tangente \(t_1\) nur einen gemeinsamen Punkt mit der Ellipse.

Answer 3

Hallo,

es gibt bei einer implizit gegebenen Funktion noch einen Trick. Für jeden Punkt \((x|\,y)\) auf der Ellipse gilt$$x^2 + \frac{y^2}9 = 1$$Leite dies nach \(x\) ab:$$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1 \stackrel{\frac {\text d}{\text dx}}{\implies} 2x + \frac29yy' = 0\\ \implies x +\frac19yy' = 0 $$D.h. ein Punkt \((x|\,y)\) mit der Steigung \(y'\) erfüllt diese Gleichung. Die gesuchten Tangenten haben offensichtlich die Steigung \(y'=-3\), also suchen wir die Punkte auf der Ellipse, bei denen die Steigung \(y'=-3\) ist:$$y' = -3 \implies x + \frac19y(-3) = 0 \implies y=3x $$diese Punkte mit der Steigung \(y'=-3\) müssen also die Gleichung \(y=3x\) erfüllen. Das setze man in die Ellipsengleichung ein:$$x^2+ \frac19 \cdot 9x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm\frac12\sqrt 2 $$und daraus folgt dann \(y_{1,2} = \pm\frac32\sqrt 2\). Die Tangenten können dann über die Punkt-Richtungsform bestimmt werden. Das schaffst Du alleine.

https://www.desmos.com/calculator/zctujfpyws

Gruß Werner