Hallo,
auch die 5) ist richtig. Du kannst Dir einiges an Schreibarbeit sparen, wenn Du so einen Summenausdruck als Faktor begreifst. Das geht etwa so:$$\begin{aligned}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right) \cdot f &= \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i\cdot f)\\(x_1+x_2 + \dots +x_n)\cdot f &= x_1\cdot f +x_2\cdot f + \dots +x_n\cdot f\end{aligned}$$ich habe doch hier nichts anderes gemacht als den Faktor \(f\) mit in die Summe hinein zu ziehen.
Also muss doch folgendes genauso gelten:$$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)\underbrace{\left(\sum \limits_{j=1}^{m}y_j\right)}_{=f} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(x_i\left(\sum \limits_{j=1}^{m}y_j\right)\right)$$Und nun betrachte nur ein Element der äußeren Summe. Dort gibt es wieder den Faktor \(x_i\), den man mit in die innere Summe hineinziehen kann:$$ \sum\limits_{i=1}^{n} \left(x_i\left(\sum \limits_{j=1}^{m}y_j\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{m}x_iy_j\right)= \sum\limits_{i=1}^{n}\sum \limits_{j=1}^{m}x_iy_j$$
Bei der 4) geht es auch einfacher. Löse zunächst den inneren Term auf:$$\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2 = \sum \limits_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2)$$und der innere Term ist eine Summe, wo Du jeden Summanden einzeln betrachten kannst$$\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2) = \sum \limits_{i=1}^{n}x_i^2- \sum \limits_{i=1}^{n}2x_i\mu+\sum \limits_{i=1}^{n} \mu^2$$Jetzt noch die konstanten Faktoren aus den Summen heraus holen$$\sum \limits_{i=1}^{n}x_i^2- \sum \limits_{i=1}^{n}2x_i\mu+\sum \limits_{i=1}^{n} \mu^2 = \sum \limits_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\mu \sum \limits_{i=1}^{n}2x_i\ +\mu^2\sum \limits_{i=1}^{n} 1$$... und der letzte Summenterm ist die Summe von \(n\) 1'en und folglich \(=n\).
Gruß Werner
