Mach es mal mit konkreten Zahlen, z.B. so:
$$\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{2}x_{ij}$$
$$\sum \limits_{i=1}^{3} (x_{i1}+ x_{i2})$$
$$ (x_{11}+ x_{12})+ (x_{21}+ x_{22})+ (x_{31}+ x_{32})$$
und jetzt umordnen, erst aus jeder Klammer den ersten etc
$$ (x_{11}+ x_{21}+x_{31})+ ((x_{12}+ x_{22}+ x_{32})$$
Dann wieder mit Summenzeichen
$$\sum \limits_{j=1}^{2} (x_{1j}+ x_{2j}+ x_{3j})$$
und wieder als Doppelsumme
$$\sum \limits_{j=1}^{2}\sum \limits_{i=1}^{3}x_{ij}$$