Doppelsummen Aufgabe Beweis

Question

\( 6 . \)

\(\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{m} x_{i j}\right)=\sum \limits_{j=1}^{m}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i j}\right)\)

weil

\(\begin{aligned}\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{m} x_{i j}\right)=& \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i 1}+x_{i 2}+\cdots+x_{i m}\right) \\=&\left(x_{11}+x_{12}+\cdots+x_{1 m}\right)+\\&\left(x_{21}+x_{22}+\cdots+x_{2 m}\right)+\\&\left(x_{n 1}+x_{n 2}+\cdots+x_{n m}\right) \\=&\left(x_{11}+x_{21}+\cdots+x_{n 1}\right)+\\&\left(x_{1 m}+x_{2 m}+\cdots+x_{n m}\right) \\=& \sum \limits_{j=1}^{m}\left(x_{1 j}+x_{2 j}+\cdots+x_{n j}\right) \\=& \sum \limits_{j=1}^{m}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i j}\right)\end{aligned}\)

Guten Tag, kann mir jemand hier weiterhelfen? Ich verstehe nicht ganz was mit i und j gemeint ist. Hätte vielleicht jemand ein Beispiel damit ich den Rechenweg nachvollziehen kann?

Mfg Damian

Answer 1

Mach es mal mit konkreten Zahlen, z.B. so:

$$\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{2}x_{ij}$$

$$\sum \limits_{i=1}^{3} (x_{i1}+ x_{i2})$$

$$ (x_{11}+ x_{12})+ (x_{21}+ x_{22})+ (x_{31}+ x_{32})$$

und jetzt umordnen, erst aus jeder Klammer den ersten etc

$$ (x_{11}+ x_{21}+x_{31})+ ((x_{12}+ x_{22}+ x_{32})$$

Dann wieder mit Summenzeichen

$$\sum \limits_{j=1}^{2} (x_{1j}+ x_{2j}+ x_{3j})$$

und wieder als Doppelsumme

$$\sum \limits_{j=1}^{2}\sum \limits_{i=1}^{3}x_{ij}$$

Comments

Vielen Dank, aber du hast glaub ich einen Tipp Fehler weil du zwei mal x21 hast....kann das sein?

---

stimmt. Ich korrigiere das.

Answer 2

Wenn die Tabelle n Spalten und m Reihen hat, dann ist i die Nummer der Spalte und m die Nummer der Reihe.

Wenn die Tabelle n Reihen und m Spalten hat, dann ist i die Nummer der Reihe und m die Nummer der Spalte.