Ellipse: Berechne die Gleichung der Tangente im Ellipsenpunkt P

Question

Aufgabe:

Berechnen die Gleichung der Tangente im Punkt P auf der Ellipse.

Ellipse: 4x^2 + 25 y^2 = 200

P(-5|y)

Problem/Ansatz:

Berechnen die Gleichung der Tangente im Punkt P auf der Ellipse.

Comments

Probelm: Es gibt zwei Punkte auf der Ellipse mit der x-Koordinate x = -5.

Daher 2 Tangenten, wenn die Fragestellung nicht mehr hergibt.

Answer 1

4·(-5)² + 25·y² = 200   →  y = ± 2  (2 zur x-Achse symmetrisch liegende Tangenten!)

$$Ellipsengleichung: \text{ }4x^2 + 25 y^2 = 200  ⇔  \frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{8}=1$$$$Tangentengleichungen \text{ }in \text{ }P_{1,2}(±2|5):\text{ } \frac{-5·x}{50}+\frac{±2·y}{8}=1$$ $$⇔ y = \frac{2}{5}·x+4\text{ } \text{ }bzw.\text{ }\text{ } y = \frac{-2}{5}·x-4$$

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort,aber warum

-5x/50 + (+-)2 y/8=1?

Muss man entscheiden -2 oder +2?

Oder zwei Antworten gilt ?

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Es gibt - wie in der Antwort angegeben und im Bild sichtbar  - zwei solche Punkte P.

Answer 2

Gleichung der Tangente im Punkt \(P(-5|y)\) auf der Ellipse: \(4x^2 + 25 y^2 = 200\)

\(f(x,y)=4x^2 + 25 y^2 - 200\)

\(f'(x)=- \frac{8x}{50y}=- \frac{4x}{25y} \)

\(P(-5|2)\):

\(f'(-5)=- \frac{-20}{50} =\frac{2}{5} \)

Tangentengleichung:

\( \frac{y-2}{x+5}=\frac{2}{5} \)

\( y=\frac{2}{5}x+4 \)

2.Tangente:

\( y=-\frac{2}{5}x-4 \)

Comments

Da das Wort "Unsinn" hier nicht mehr erwünscht ist:

\(f(x,y)=4x^2 + 25 y^2 - 200\)

\(f'(x)=- \frac{8x}{50y}=- \frac{4x}{25y} \)

Der Übergang von der ersten zur zweiten Zeile ist ein typischer Moliets...