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Aufgabe:

Gleichung einer Ellipse ermitteln?


Problem/Ansatz:

Der Punkt P=(5,3) ist ein beliebiger Punkt der Ellipse e=4.

Ellipsen können ja durch die Gleichung

1) \(e^2=a^2-b^2\) oder durch

2) \(b^2\cdot x^2 + a^2\cdot y^2 = a^2\cdot b^2\)   dargestellt werden.


Und dann gibt es noch \(\left| \vec x F_1\right|+\left| \vec x F_2\right|=2a\) mit \(\vec x=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\)

Ich habe erstmal diese zwei Vektoren wie in der Formel addiert, dabei kam raus (-10, -6) ich weiß es gibt hier eine extra Vektorformel aber bei mir hats das leider nicht richtig angezeigt. mit dem üblichen eingeben in die wurzel, und das /2 gerechnet um auf a zu kommen, ist das Ergebnis dann etwa: 5.8.

Das habe ich dann in \(e^2=a^2-b^2\) eingesetzt, \(e=4\) habe ich ja auch schon, und daraus \(b\) berechnet. Schlussendlich habe ich für die zweite formel oben dann: \(a^2=34\) und \(b^2=18\)

Das habe ich dann in diese Formel eingesetzt, wobei rauskommt: \(18\cdot x^2+ 34\cdot y^2=612\)

Richtig ist laut LH aber: ell: \(3\cdot x^2+5\cdot y^2=120\)


Ich hoffe es ist alles einigermaßen verständlich.

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Stell einfach zwei Gleichungen auf, einmal die mit dem Punkt und dann die mit e2.

Das gibt dir zwei Gleichungen mit a und b, die man dann leicht durch ersetzen von a durch b (oder umgekehrt) lösen kann.

(das sollen Vektoren sein)

oder deren Betrag?


Nachtrag: Werner hat die Schreibweise in der Aufgabe korrigiert.

2 Antworten

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Wegen 4²=16 und 5²-3²=16 kannst z.B. du jede Ellipse nehmen, bei der a=5 und b=3 gilt.

Wenn diese Ellipse dann noch den Mittelpunkt (5|0) hat, enthält sie den Punkt (5|3) als höchsten Punkt.

Eine (von unendlich vielen) möglichen Gleichungen ist also (x-5)²/25+y²/9 = 1.


Wenn das nicht die von dir erhoffte Antwort sein sollte könnte es daran liegen, dass du nicht alle Forderungen der Aufgabe mitgeteilt hast,

Avatar von 56 k 🚀

gemäß ihrer 2. gleichung ging sie wohl davon aus, dass das Koordinatensystem so gewählt wurde, das der Mittelpunkt im Ursprung liegt.

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a² - b² = e²
b²·x² + a²·y² = a²·b²

Setze einfach e und den Punkt ein und du erhältst ein Gleichungssystem, was du nach a² und b² lösen kannst

a² - b² = 16
b²·25 + a²·9 = a²·b²

Ich erhalte die Lösung a² = 40 ∧ b² = 24

24·x² + 40·y² = 40·24   | : 8
3·x² + 5·y² = 120

Skizze

~plot~ {5|3};sqrt(3/5)·sqrt(40 - x^2);-sqrt(3/5)·sqrt(40 - x^2);[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Avatar von 492 k 🚀

wie löst man denn dieses gleichungssystem? denn ich habe, um auf eine variable zu kommen, die obere gleichung *(-9) multipliziert um b zu isolieren, und da sind bei mir für a und b² nur irgendwelche kommazahlen rausgekommen

Wir lösen z.B. die eine Gleichung nach a² auf

a² - b² = 16 ---> a² = b² + 16

Das setzen wir für a² in die andere Gleichung ein.

b²·25 + (b² + 16)·9 = (b² + 16)·b² → (b²)^2 - 18·b² - 144 = 0 → b² = 24

Das jetzt für b² einsetzen, um auch a² zu bestimmen.

Wenn du da noch Hilfe brauchst, melde dich gerne.

ok dankeschön

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