die Gleichung der Ellipse

Question

Eine Ellipse hat die Brennpunkte F1(-5, 0), F2(5, 0) und geht durch den Punkt P(3, 4). Ermittle die Gleichung der Ellipse! [x^2/45 + y^2/20 = 1 bzw. 4x^2 + 9y^2 = 180]

Answer 1

Mit den x-Koordinaten e und -e der Brennpunkte bekommst du über

b^2 + e^2 = a^2 und der allg. Gleichung

            x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

die Form  x^2 / (b^2+25)   + y^2 / b^2 = 1

und mit P(3,4) also

               9/ (b^2 + 25)    + 16 / b^2 = 1

==>        9/ (b^2 + 25)     = ( b^2 - 16 ) /  b^2

==>    9b^2  / (b^2 + 25)    = b^2 - 16

Substitution b^2 = z liefert

                9z / ( z+25) =  z-16

                 9z =  z^2 + 9z - 400

                 0 = z^2 - 400

==>  z = 20 oder z=-20,

aber wegen z=b^2 muss es  b^2 = 20 sein

und damit a^2 = 45