Gleichung einer Ellipse ermitteln?

Question

Aufgabe:

Gleichung einer Ellipse ermitteln?

Problem/Ansatz:

Der Punkt P=(5,3) ist ein beliebiger Punkt der Ellipse e=4.

Ellipsen können ja durch die Gleichung

1) $e^2=a^2-b^2$ oder durch

2) $b^2\cdot x^2 + a^2\cdot y^2 = a^2\cdot b^2$   dargestellt werden.

Und dann gibt es noch $\left| \vec x F_1\right|+\left| \vec x F_2\right|=2a$ mit $\vec x=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$

Ich habe erstmal diese zwei Vektoren wie in der Formel addiert, dabei kam raus (-10, -6) ich weiß es gibt hier eine extra Vektorformel aber bei mir hats das leider nicht richtig angezeigt. mit dem üblichen eingeben in die wurzel, und das /2 gerechnet um auf a zu kommen, ist das Ergebnis dann etwa: 5.8.

Das habe ich dann in $e^2=a^2-b^2$ eingesetzt, $e=4$ habe ich ja auch schon, und daraus $b$ berechnet. Schlussendlich habe ich für die zweite formel oben dann: $a^2=34$ und $b^2=18$

Das habe ich dann in diese Formel eingesetzt, wobei rauskommt: $18\cdot x^2+ 34\cdot y^2=612$

Richtig ist laut LH aber: ell: $3\cdot x^2+5\cdot y^2=120$

Ich hoffe es ist alles einigermaßen verständlich.

Comments

Stell einfach zwei Gleichungen auf, einmal die mit dem Punkt und dann die mit e^2.

Das gibt dir zwei Gleichungen mit a und b, die man dann leicht durch ersetzen von a durch b (oder umgekehrt) lösen kann.

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(das sollen Vektoren sein)

oder deren Betrag?

Nachtrag: Werner hat die Schreibweise in der Aufgabe korrigiert.

Answer 1

Wegen 4²=16 und 5²-3²=16 kannst z.B. du jede Ellipse nehmen, bei der a=5 und b=3 gilt.

Wenn diese Ellipse dann noch den Mittelpunkt (5|0) hat, enthält sie den Punkt (5|3) als höchsten Punkt.

Eine (von unendlich vielen) möglichen Gleichungen ist also (x-5)²/25+y²/9 = 1.

Wenn das nicht die von dir erhoffte Antwort sein sollte könnte es daran liegen, dass du nicht alle Forderungen der Aufgabe mitgeteilt hast,

Comments

gemäß ihrer 2. gleichung ging sie wohl davon aus, dass das Koordinatensystem so gewählt wurde, das der Mittelpunkt im Ursprung liegt.

Answer 2

a² - b² = e²
b²·x² + a²·y² = a²·b²

Setze einfach e und den Punkt ein und du erhältst ein Gleichungssystem, was du nach a² und b² lösen kannst

a² - b² = 16
b²·25 + a²·9 = a²·b²

Ich erhalte die Lösung a² = 40 ∧ b² = 24

24·x² + 40·y² = 40·24   | : 8
3·x² + 5·y² = 120

Skizze

Plotlux öffnen

P(5|3)f₁(x) = √(3/5)·sqrt(40-x²)f₂(x) = -√(3/5)·sqrt(40-x²)Zoom: x(-8…8) y(-6…6)

Comments

wie löst man denn dieses gleichungssystem? denn ich habe, um auf eine variable zu kommen, die obere gleichung *(-9) multipliziert um b zu isolieren, und da sind bei mir für a²  und b² nur irgendwelche kommazahlen rausgekommen

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Wir lösen z.B. die eine Gleichung nach a² auf

a² - b² = 16 ---> a² = b² + 16

Das setzen wir für a² in die andere Gleichung ein.

b²·25 + (b² + 16)·9 = (b² + 16)·b² → (b²)² - 18·b² - 144 = 0 → b² = 24

Das jetzt für b² einsetzen, um auch a² zu bestimmen.

Wenn du da noch Hilfe brauchst, melde dich gerne.

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ok dankeschön