Wählerverhalten bestimmen mit Übergangsmatrix

Question

Aufgabe:

Bei der letzten Wahl zum Vereinsvorsitz erhielt Kandidat A 30%., Kandidat B 50% und Kandidat C 20% der Stimmen. Zur bevorstehenden Neuwahl wurde das Übergangsverhalten der Vereinsmitglieder erfragt. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle erfasst:

Frage : Kandidat B zieht nun jeweils p Prozentpunkte von den Kandidaten A und C zu seinen Gunsten ab. Untersuche wie groß p werden muss, damit Kandidat B die Neuwahl gewinnt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Übergangsmatrix schrittweise verändert, um die Folgeverteilung zu bestimmen und bin schließlich bei p=11% gelandet.

Dann ergeben sich folgende Ergebnisse bei der Neuwahl. A: 36,7%, B 37,5%, C 25,8%.

Fragen: Sind die Werte richtig? Gibt es eine elegantere Methode als die Übergangsmatrix schrittweise zu ändern, um p zu bestimmen.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Handelt es sich um folgenden Aufgabentext?

Vereinsvorsitz

Bei der letzten Wahl zum Vereinsvorsitz erhielt Kandidat A 30%, Kandidat B 50% und Kandidat C 20% der Stimmen. Zur bevorstehenden Neuwahl wurde das Übergangsverhalten der Vereinsmitglieder erfragt. Das Ergebnis ist in der nebenstehenden Tabelle erfasst.

a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen.

b) Geben Sie eine Prognose für die Wahl ab.

c) Kurz vor der Wahl wirbt Kandidat B offensiv bei den Vereinsmitgliedern, die ihn bisher nicht gewählt haben. Berechnen Sie den Stimmenanteil von B, wenn er die Wiederwahlanteile von A und C (s. Tabelle) um jeweils 5 Prozentpunkte zu seinen Gunsten verringern könnte?

d) Wie in Aufgabenteil b) zieht Kandidat B nun jeweils p Prozentpunkte von den Kandidaten A und C zu seinen Gunsten ab. Untersuchen Sie, wie groß p werden muss, damit Kandidat B die Neuwahl gewinnt.

PS: Es ist immer wichtig den Aufgabentext im Originalwortlaut zur Verfügung zu stellen, wenn man die Beste Hilfe bekommen möchte.

---

Ja, es ist die Aufghabe. Am Originaltext wurde nichts geändert. Es entspricht der Aufgabe d).

---

Am Originaltext wurde nichts geändert.

Ohne die Erklärung aus der vorigen Teilaufgabe ist d) unverständlich.

Answer 1

Sind die Werte richtig? Gibt es eine elegantere Methode als die Übergangsmatrix schrittweise zu ändern, um p zu bestimmen.

Deine Werte sind völlig richtig. Du kannst direkt mit p rechnen.

[0.6 - p, 0.4, 0.1; 0.1 + p, 0.5, 0.2 + p; 0.3, 0.1, 0.7 - p]·[0.3; 0.5; 0.2] = [0.4 - 0.3·p; 0.5·p + 0.32; 0.28 - 0.2·p]

Nun muss gelten

0.5·p + 0.32 > 0.4 - 0.3·p --> p > 0.1

0.5·p + 0.32 > 0.28 - 0.2·p --> p > -0.0571 (immer erfüllt)

Damit muss er die Stimmenanteile um mehr als 10 Prozentpunkte zu seinen Gunsten ändern.

Comments

Deine Werte sind völlig richtig.

Dann widerspricht deine Lösung aber seinen Werten, da er \( p=11 \, \% \) erhält.

---

Super! Also p in die Matrix einsetzen und dann die Bedingungen B>A und B>C untersuchen. Bei meiner Berechnung hatte ich auch bei p=10% die gleiche Stimmenzahl für A und B; also habe ich p=11% gewählt. Korrekt ist deine Lösung, wonach p >10% sein muss, damit B die meisten Stimmen erhält.

---

Wenn ein Schüler das durch Probieren über eine schrittweise Erhöhung mit ganzzahligen Prozentpunkten macht, was durchaus legitim ist, wenn man auf den Ansatz mit der direkten Rechnung mit p nicht kommt, halte ich das nicht für problematisch.

Daher hat der Schüler ja auch gefragt wie man es vielleicht geschickter rechnen kann, wenn man die Prozentpunkte nicht diskret erhöhen möchte.

In der Realität kann es durchaus auch sein, dass eine Veränderung um p = 10.1% nicht langt, weil es da rundungstechnisch ein Patt heraus kommt.

[0.6 - 0.101, 0.4, 0.1; 0.1 + 0.101, 0.5, 0.2 + 0.101; 0.3, 0.1, 0.7 - 0.101]·[30; 50; 20] = [36.97; 37.05; 25.98]

Answer 2

Du hast falsche Werte geändert. Wieso sollte sich bspw. der Wert von C nach C verändern?

Arbeite direkt mit \( p \):

Ändere die zweite Spalte ab, indem du bei B \( 2p \) addierst und bei A und C jeweils \( p \) subtrahierst.

Comments

Du hast falsche Werte geändert. Wieso sollte sich bspw. der Wert von C nach C verändern?

Vielleicht, weil der Aufgabentext nicht im Original gepostet wurde. Dort steht vermutlich, dass die Wiederwahlanteile von A und C zugunsten von B geändert werden sollen.

Ich habe oben den vermutlichen Aufgabentext notiert.