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Sei \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung gegeben durch

\( \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} 2 x+y \\ y+2 z \\ x+z \end{array}\right), \)
sowie \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) und \( \mathcal{C}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) \) Basen von \( \mathbb{R}^{3} \), wobei
\( b_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), c_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), c_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) . \)
Des weiteren sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).
(a) Geben Sie die Dartstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \) an und begründen Sie, dass \( T \) bijektiv ist.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \), d. h. die darstellende Matrix von \( T \) bezüglich \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
(c) Bestimmen Sie die Übergangangsmatrix \( \mathcal{U}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}:=\left[\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{3}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{C} \).

Das sind etwas komplizierte Aufgaben, wie genau berechne ich diese? Kann mir da jemand helfen?

Danke im Voraus!

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a)  In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren bzw. die

Faktoren, die man braucht um die Bilder mit der vorgesehenen Basis

darzustellen. Also

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Determinante ist nicht null, also Abbildung bijektiv.

Für b) musst du die Bilder der Basisvektoren von B mit der Basis C darstellen,

also erst mal $$T(\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}$$

Das gibt 3c1 + 0c2 + 2c3 .

Die drei Zahlen 3  ,  0   ,  2   bilden die erste Spalte der Matrix. etc.

Avatar von 289 k 🚀

Muss ich die Determinante dazu noch ausrechnen oder darf ich das einfach so sagen?

ich verstehe auch nicht genau wie sie auf die Matrize da kommen.

$$\begin{pmatrix} 2x+y\\y+2z\\x+z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

Ist das so klar?

Determinante solltest du ausrechnen. Man kann aber bereits auch so sehen das die Zeilen linear unabhängig sind. Notfalls wende den Gauss an.

Ah ich verstehe, alles klar ich rechne mal die Determinante aus, aber Vielen Dank!

Ist die Determinante 4? Hoffe mal ich hab mich nicht vertan.

Ja. Z.B. Regel von Sarrus

D = 2·1·1 + 1·2·1 + 0·0·0 - 1·1·0 - 0·2·2 - 1·0·1 = 4

Ich bin bei Aufgabe b) jetzt angekommen und frage mich wie ich da weiter mache, ich habe die Abbildung auf B angewendet, ist das überhaupt richtig als erster Schritt?

Hab was ergänzt.

hab die Aufgabe hier geschafft, Danke!

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