Darstellungs-/Abbildungsmatrix aus Skalarprodukt im komplexen Raum

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Wir betrachten das komplexe Skalarprodukt }\langle,\rangle \text { auf } \mathbb{C}^{3} \text { gegeben durch }} \\ {\qquad\left\langle\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}}\end{array}\right)\right\rangle= x_{1} \cdot \overline{y_{1}}+x_{2} \cdot \overline{y_{2}}+x_{3} \cdot \overline{y_{3}}+\frac{i}{2} x_{2} \cdot \overline{y_{1}}+\frac{i}{2} x_{3} \cdot \overline{y_{2}}-\frac{i}{2} x_{1} \cdot \overline{y_{2}}-\frac{i}{2} x_{2} \cdot \overline{y_{3}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { (a) Geben Sie die Darstellungsmatrix von }\langle,\rangle \text { an. }} \\ {\text { (b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von } \mathbb{C}^{3} \text { bezüglich }\langle,\rangle .} \\ {\text { (c) Sei } U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{3} | x_{2}=0\right\} . \text { Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen }} \\ {\text { Komplements } U^{\perp} \text { von } U \text { bezüglich }\langle,\rangle \text { in } \mathbb{C}^{3} \text { . }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich finde leider keinen sinnvollen Ansatz für a).

Answer 1

Aloha :)

Bei der (a) sollst du eine Matrix \(A=(a_{ik})\) finden, sodass:

$$\left<\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\right>=(y_1,y_2,y_3)\cdot\left(\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$$Besonders einfach wird das, wenn wir die "Einheitsvektoren" verwenden:

$$\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=1\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=-\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=0$$$$\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=1\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=-\frac{i}{2}$$$$\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=0\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=1$$Daraus kannst du die Abbildungsmatrix ablesen:

$$A=\left(\begin{array}{c}1&\frac{i}{2}&0\\-\frac{i}{2}&1&\frac{i}{2}\\0&-\frac{i}{2}&1\end{array}\right)$$Jetzt kannst du mit Teil (b) weitermachen...