Darstellungsmatrix / Abbildungsmatrix durch Basen und Elementen aus Kern und Bild bestimmen.

Question

Aufgabe:

Sei \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) eine lin. Abb. mit \((1,2)\in Ker(f)\) und \((-1,1)\in \Im(f)\). Außerdem gelte \(f\circ f=f\). Bestimme \(M_B^B(f)\) für \(B=\{(1,2), (1,-1)\}\).

Problem/Ansatz:

Für den ersten Teil der Abbildungsmatrix habe ich bereits etwas heraus. Die erste Spalte setzt sich zusammen aus (0, 0), weil f((1, 2)) gerade aus dem Kern von f stammt und damit auf den 0-Vektor projiziert. Dieser Nullvektor kann nun aus den Basen aufgespannt werden und ich erhalte die Koeffizienten 0 und 0. Mit der zweiten Hälfte habe ich starke Probleme und würde mir wünschen eine Lösung mit ein bisschen Erklärung zu erhalten.

Mit freundlichen Grüßen Simplex

Answer 1

Für die 2. Spalte brauchst du f(1,-1) .

Du weißt ja, dass f(f(1,-1)) = f(1,-1) ist.

Außerdem (-1,1) ∈ Im(f) , also gibt es (a,b) mit f(a,b)=(-1,1) #

     ==>  f(f(a,b)) = f(-1,1)

    ==>    f(a,b)=f(-1,1)  wegen # folgt

                    (-1 ,1) =f(-1,1)=-f(1,-1)  (Linearität!)

            also (1,-1) = f(1,-1)

  und   (1 ,-1) = 0* (1, 2)  + 1 *   (1 ,-1)

Also ist (0, 1)^T die 2. Spalte der Matrix.

Comments

Fehler. Tatsächlich ist die zweite Spalte (0,1)^T.

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s korrigiert. War wohl etwas viel 1 und -1.

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Vielen Dank! Du bist der Beste!