Text erkannt:
Es seien \( V=\mathbb{R}^{4} \) mit der Standardbasis \( S \), sei \( p(X)=(X-2) \in \mathbb{R}[X] \) und \( \phi \in \) \( \operatorname{End}(V) \) mit
$$ D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 4}, y=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \in V $$
(a) Zeigen Sie \( y \notin \operatorname{Kern}\left(p^{3}(\phi)\right) \).
(b) Zeigen Sie, dass \( T=\left\{y, \phi(y), \phi^{2}(y), \phi^{3}(y)\right\} \) eine Basis von \( V \) ist und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( D_{T}(\phi) \).
(c) Zeigen Sie, dass \( U=\left\{y, p(\phi)(y), p^{2}(\phi)(y), p^{3}(\phi)(y)\right\} \) eine Basis von \( V \) ist und bestimmen Sie \( D_{U}(\phi) \).
(d) Bestimmen Sie das Minimalpolynom \( g_{\phi} \).
Bei Aufgabe 1 muss ich p hoch drei rechnen und dann da D einsetzten.
Bei b muss ich dann um t zu errechnen immer die D hoch das entsprechende rechnen und dann Mal y. Wie kann ich aber zeigen, dass das dann die Basis und die Darstellungsmatrix bestimmen?
ebenso bei c
Das Minimalpolynom kann ich bestimmen.
Könnte mir jemand biite auf meine Fragen antworten?
