Kern einer Darstellungsmatrix.

Question

Aufgabe:

Ich habe eine (Identitätsabbildung) lineare Abbildung: $$ \varphi : \mathbb{K}^{2x2} \rightarrow \mathbb{K}^{2x2} \\ \varphi(A) ↦ MA - AM. $$ Mit \( M =  \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Wir wählen die Basen \(E = (E_{11} , E_{12} , E_{21} , E_{22}).\)


Darstellungsmatrix (ist korrekt)
Ich erhalte für die obige Abbildung  folgende Darstellungsmatrix: 

\( _EM(\varphi)_E = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0   \end{pmatrix} .\)



Für den Kern mache ich Darstellungsmatrix = 0 und Gauss (ist korrekt)

   → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{pmatrix} .\)


Meine Interpretation: (scheint Falsch, siehe zu unterst Frage) 

Ich sehe, in der nach Gauss erhaltenen Matrix, dass die
erste Spalte zur zweiten Spalte    und die
erste Spalte zur dritten Spalte      jeweils linear unabhängig ist. 

Das heisst, ich betrachte in der Matrix vor Gauss
den ersten Spaltenvektor und den zweiten Spaltenvektor
(oder den ersten Spaltenvektor und den dritten Spaltenvektor) 

Diese (falls ich jetzt nichts falsches sage) bilden jeweils eine  Basis des Kerns \(\varphi\).

Also müsste für den Kern der linearen Abblidung \(\varphi\) gelten: (auch falsch)

Für die erste Spalte zur zweiten Spalte : $$ Ker(\varphi) = \Bigg \langle  \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}  \Bigg \rangle $$

oder

erste Spalte zur dritten Spalte: Dasselbe wie oben.

Lösung im Buch:

Die Lösung des Buchs sagt allerdings: $$ Ker(A) = \Bigg \langle  \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix}  \Bigg \rangle. $$


Frage:
(1) Wie kommt das Buch auf diese Lösung ? 
(2) Was ist mein Fehler ? 

Answer 1

Mit der Anwendung des Gauss-Algorithmus hast du gefunden:

dim Kern(φ) = 2.

Du brauchst also für eine Basis des Kerns 2 lin. unabhängige

Vektoren v , die auf 0 abgebildet werden, für die also

Matrix * v = 0 gilt.

Das sind offenbar (z.B.) die aus der Lösung im Buch.

Kannst du aus deinem Ergebnis (nach Gauss ) auch gewinnen,

wenn du sagst: Für die Lösungen x = (x1,x2,x3,x4)^T muss ja

gelten  x3 und x4 sind frei wählbar, ewta x3=s und x4=t .

Eingesetzt in die umgeformte Matrix gibt das die

Gleichungen  x1 - t = 0  und  x2 +s = 0 , also

x1=t und x2=-s . Insgesamt also

( t , -s , s , t)^T = t*(1,0,0,1)^T + s*(0,-1,1,0)^T

und damit hast du deine Basisvektoren für den Kern.