Finden Sie eine Basis für Im L^3.

Question

Aufgabe:

Es sei L: R^4 → R^4 die lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix

1 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 2 0

bezüglich der Standardbasen dieser Räume .

(a) Finden Sie eine Basis für Ker L.

(b) Finden Sie eine Basis für Im L^3 , ohne die MAtrix für L^3 zu berechnen.

Problem/Ansatz:

ich weiß ,wie man Ker L und Im L berechnet . Aber wie berechne ich Im L^3 ?? kann jemand mir erklären ?

Answer 1

a)   Eine mögliche Basis ist $$\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Also dim( Im ( L ) ) = 3

Basis könnte sein 2. und 3. und 4. Spalte der Matrix.

L erneut angewandt gibt dim( Kern ( L^2 ) ) = 2

und dim( Kern ( L^3 ) ) = 3

Also bleibt dim ( Im ( L^3 ) ) =1

Basis also etwa $$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$$