Nein. So kannst du das nicht machen.
Das Bild(\(\beta\)) wird erzeugt von den Spaltenvektoren
von \(B\). Du suchst also eine Basis von
Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T,(3,1,2)^T\)).
Die Summe der beiden ersten gibt den dritten Vektor,
also ist Bild(\(\beta\))=Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T\)).
Da die beiden Erzeuger linear unabhängig sind,
bilden sie eine Basis von Bild(\(\beta\)).