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Aufgabe:Bestimmen sie eine Basis von Bild(β) und berechnen sie den rang(β).


β: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) → B\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

B:= \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)


Problem/Ansatz:

Wenn ich die Matrix mit Gaus löse bekomme, ich rang(β)=2 raus und die gelöste Matrix wäre \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)


Meine Frage wäre dabei, da ich eine Basis von Bild(β) finden soll, ich theoretisch auch von der gelösten Matrix die 1 und 2 Spalte nehmen kann, da diese in Zeilenstufenform sind als Basis des Bildes? Oder ist das so nicht möglich.

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Ermanus hat schon ausgeführt, dass Du das so nicht machen kannst. Aber Du hast Dich außerdem auch verrechnet.

Du meinst bei der Zeilenumformung, die dritte Spalte müsste (1,1,0)^T sein. Liege ich da richtig?

Richtig. Und dann kannst Du auch das Ergebnis von Ermanus ablesen: Du hast das homogene Gleichungssystem \(s_1b_1+s_2b_2+s_3b_3=0\) bearbeitet. Ergebnis:

1. Es gibt nichttriviale Lösungen, d.h. die drei Vektoren sind linear abhängig.

2. Man kann \(s_3=-1\) setzen und es folgt \(s_1=s_2=1\) also \(b_3=b_1+b_2\)

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Nein. So kannst du das nicht machen.

Das Bild(\(\beta\)) wird erzeugt von den Spaltenvektoren

von \(B\). Du suchst also eine Basis von

Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T,(3,1,2)^T\)).

Die Summe der beiden ersten gibt den dritten Vektor,

also ist Bild(\(\beta\))=Span(\((1,0,0)^T,(2,1,2)^T\)).

Da die beiden Erzeuger linear unabhängig sind,

bilden sie eine Basis von Bild(\(\beta\)).

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