Konstruieren Sie jeweils eine Basis von Kern(f) und Bild(f).

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie jeweils eine Basis von Kern(f) und Bild(f).

Die ℝ-lineare Abbildung f : R^3 → R^3

sei definiert durch
f(1, 0, 0) = (−1, 1, 3), f(0, 1, 0) = (0, 6, 3), f(0, 0, 1) = (2, 4, −3).

Problem/Ansatz:

Ich komm leider nicht weiter...

Answer 1

Aloha :)

Wir entfernen mittels elementarer Spaltenumformungen die linearen Abhängigkeiten aus der Darstellungsmatrix und wiederholen die dazu nötigen Schritte an einer Einheitsmatrix. Am Ende der Prozedur erhalten wir Bild und Kern der Abbildung:

$$\begin{array}{rrr||rrr}\cdot(-1) & & +2S_2 & \cdot(-1) & & +2S_2\\\hline-1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\1 & 6 & 4 & 0 & 1 & 0\\3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr||rrr} & & -S_2 &  & & -S_2\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\-1 & 6 & 6 & 0 & 1 & 0\\-3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}$$$$\begin{array}{rrr||rrr} \vec b_1 & \vec b_2 &  &  & & \vec k_1\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\-1 & 6 & 0 & 0 & 1 & -1\\-3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$

Die von Null verschiedenen Vektoren links bilden ein Basis des Bildes. Die zu den Nullspalten links korrespondierenden Spalten der ehemaligen Einheitsmatrix bilden eine Basis des Kerns:$$\operatorname{Bild}=\left(\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\right)\quad;\quad \operatorname{Kern}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Ich kenn diese Spaltenumformungen leider nicht, und versteh auch nicht ganz wie du hier was gemacht hast

---

Dann musst du "zu Fuß" vorgehen...

Für die Basis musst du zeigen, dass die 3 gegebenen Bildvektoren linear abhängig sind, indem du einen von den dreien durch die beiden anderen ausdrückst:$$\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}$$Damit hast du nur noch 2 linear unabhängige Bildvektoren, diese beiden bilden eine Basis des Bildes:$$\operatorname{Bild}(f)=\left(\,\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\right)$$Beachte, dass eine Basis nicht eindeutig ist.

Für den Kern musst du das folgende Gleichungssystem lösen:$$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2\\1 & 6 & 4\\3&3&-3\end{pmatrix}\vec x=\vec 0$$Du solltest unendlich viele Lösungen der Form \(\lambda(2|-1|1)^T\) finden, sodass der Kern aus meiner Antwort herauskommt.