Konstruieren Sie jeweils eine Basis von Kern(f) und Bild(f)

Question

Die R-lineare Abbildung f : R^(3) → R^(3) sei definiert durch
f(1, 0, 0) = (−1, 1, 3), f(0, 1, 0) = (0, 6, 3), f(0, 0, 1) = (2, 4, −3).
Konstruieren Sie jeweils eine Basis von Kern(f) und Bild(f)

Ich habe viele Ansätze, die leider keine Sinn ergeben, kann mir jemand die Aufgabe zeigen, oder den 'Rechenweg', damit ich das nachvollziehen kann? Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Ich schlage vor, dass wir uns zuerst die passende Abbildungmatrix \(\mathbf F\) konstruieren. Dazu fassen wir die drei bekannten Funktionswerte$$\mathbf F\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf F\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\mathbf F\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}$$zu einer Matrix-Gleichung zusammen$$\mathbf F\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 2\\1 & 6 & 4\\3 & 3 & -3\end{array}\right)$$Um die Matrix hinter \(\mathbf F\) loszuwerden müssten wir jetzt eigentlich von rechts mit der entsprechenden Inversen multiplizieren. Da wir es aber mit der Einheitsmatrix zu tun haben, erübrigt sich dieser Schritt:$$\mathbf F=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 2\\1 & 6 & 4\\3 & 3 & -3\end{array}\right)$$

Wir verwenden nun den Bild-Kern-Algorithmus. Dazu schreiben wir neben die Matrix eine Einheitsmatrix. Dann bringen wir die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt und wiederholen alle dazu nötigen Schritte an der Einheitsmatrix.

$$\begin{array}{rrr||rrr}\cdot(-1) & & +2S_1 & \cdot(-1) & & +2S_1\\\hline-1 & 0 & 2& 1 & 0 & 0\\1 & 6 & 4 & 0 & 1 & 0\\3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrr||rrr} +S_2 & \colon3 & -S_2 & +S_2 & \colon3 & -S_2\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\-1 & 6 & 6 & 0 & 1 & 0\\-3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrr||rrr} \vec b_1 & \vec b_2 &  &  &  & \vec k_1\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 2\\5 & 2 & 0 & 1 & \frac13 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$

Damit haben wir eine 2-dimensionale Basis \((\vec b_1,\vec b_2)\) des Bildes und eine 1-dimensionale Basis \((\vec k_1)\) des Kerns konstruiert.