Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Kern ϕ und für Bild ϕ.

Question

Sei ϕ: ℝ³ → ℝ³ linear mit

(1, 0, 0)ϕ = (−1, 1, −3),     (1, 1, 0)ϕ = (6, 0, 3),     (1, 1, 1)ϕ = (4, 2, −3).

Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Kern ϕ und für Bild ϕ.

Comments

Ich verstehe nicht diese Schreibweise (1, 0, 0)ϕ = (−1, 1, −3).

Kern einer linearen Abbildung ist einfach die Lösungsmenge eines homogenes linearen Gleichungssystems. Und die Lösungsmenge ist Basis für Kern. Wie kann man das jetzt als lineares Gleichungssystem schreiben?

Man guckt, wie viel linear unabhängige Vektoren im Bild hat, somit bestimmt man Basis für Bild.

Also bei (1, 0, 0)ϕ = (−1, 1, −3), man guckt Bild und schreibt -1*(1, 0, 0) + 1*(0, 1, 0) + (-3)* (0, 0, 1). Somit haben wir 3 Basisvektoren?

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(−1, 1, −3) 

müsste eigentlich die erste Spalte in der Matrix von phi sein. 

(6, 0, 3) - (−1, 1, −3) 

wäre dann die 2. Spalte. 

usw. 

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Answer 1

Hallo certi,

wenn wir die Abbildungsmatrix von ϕ kennen, können wir eine Basis von Kern(ϕ) und Bild(ϕ) bestimmen.
Eine Möglichkeit, die Abbildungsmatrix \( A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} &a_{13} \\a_{21}  & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32}  &a_{33} \end{pmatrix} \) zu bekommen:
Es gilt \(A\cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\1 \\-3 \end{pmatrix}\),  \( \ \ A\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\0 \\3 \end{pmatrix}\) und \(A\cdot \begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2 \\-3 \end{pmatrix}\).
Wir können die Einträge \(a_{ij} \) in \(A\) bestimmen:

a_11*1 + a_12*0 + a_13*0 = -1
a_21*1 + a_22*0 + a_23*0 = 1
a_31*1 + a_32*0 + a_33*0 = -3
==> a_11 = -1, a_21 = 1, a_31 = -3

-1*1 + a_12*1 + a_13*0 = 6
1*1 + a_22*1 + a_23*0 = 0
-3*1 + a_32*1 + a_33*0 = 3
==> a_12 = 7, a_22 = -1, a_32 = 6

-1*1 + 7*1 + a_13*1 = 4
1*1 + -1*1 + a_23*1 = 2
-3*1 + 6*1 + a_33*1 = -3
==> a_13 = -2, a_23 = 2, a_33 = -6


Unsere Abbildungsmatrix ist \(A = \begin{pmatrix} -1 & 7 & -2 \\ 1 & -1 & 2\\ -3 & 6 & -6\end{pmatrix}  \)
Wir bestimmen \(Kern(ϕ)\).
Zunächst lösen wir das lineare, homogene Gleichungssystem \(A \begin{pmatrix}a \\ b\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) und bekommen \(b = 0 \), \( a = -2c\), mit frei wählbarem \(c\).

Da  \(A \begin{pmatrix}-2c \\ 0\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) gilt, ist  \(A \cdot c\begin{pmatrix}-2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \) für alle \(c \in \mathbb{R}\) und es ist \(Kern(ϕ) = \left\{ \lambda \begin{pmatrix}-2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \bigg \vert \lambda \in \mathbb{R}\right\} \) Die Dimension von \(Kern(ϕ)\) ist \(1 \) und mit dem Rangsatz folgt \(dim(Bild(ϕ)) = 2 \). Wir brauchen zwei linear unabhängige Vektoren, die unsere Basis von \(Bild(f) \) bilden.
Wir ergänzen \( \begin{pmatrix}-2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \)mit \( e_1 =\begin{pmatrix}1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(e_2\begin{pmatrix}0 \\1 \\ 0\end{pmatrix} \) zu einer Basis von \(\mathbb{R} \) und erhalten unsere beiden Basisvektoren von \(Bild(ϕ) \):
\(A\cdot e_1 = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ -3\end{pmatrix} \) und \(A\cdot e_2 = \begin{pmatrix}7 \\-1 \\ 6\end{pmatrix} \)

Grüße

P.S.
Eine andere Möglichkeit an die Abbildungsmatrix heranzukommen ist

e1 = a*(1, 0, 0)^T + b*(1, 1, 0)^T + c*(1, 1, 1)^T
a = 1, b=0, c=0
e1 = 1*(1, 0, 0)^T + 0*(1, 1, 0)^T + (1, 1, 1)^T
ϕ(e1) = 1*ϕ((1, 0, 0)^T) + 0*ϕ((1, 1, 0)^T) + 0*ϕ((1, 1, 1)^T)
ϕ(e1) = (−1, 1, −3)^T

e2 = a*(1, 0, 0)^T + b*(1, 1, 0)^T + c*(1, 1, 1)^T
a = -1, b = 1, c = 0
e2 = -1*(1, 0, 0)^T + 1*(1, 1, 0)^T + 0*(1, 1, 1)^T
ϕ(e2) = -1*ϕ((1, 0, 0)^T) + 1*ϕ((1, 1, 0)^T) + 0*ϕ((1, 1, 1)^T)
ϕ(e2) = -1*(−1, 1, −3)^T + 1*(6, 0, 3)^T + 0*(4, 2, −3)^T
ϕ(e2) = (7, -1, 6)^T

e3 = a*(1, 0, 0)^T + b*(1, 1, 0)^T + c*(1, 1, 1)^T
a = 0, b = -1, c = 1
e3 = 0*(1, 0, 0)^T  -1*(1, 1, 0)^T + 1*(1, 1, 1)^T
ϕ(e3) = 0*ϕ((1, 0, 0)^T)  -1*ϕ((1, 1, 0)^T) + 1*ϕ((1, 1, 1)^T)
ϕ(e3) = -1*(6, 0, 3)^T + 1*(4, 2, −3)^T
ϕ(e3) = (-2,2,-6)^T

ϕ((x,y,z)^T) = ϕ((x,0,0)^T+(0,y,0)^T+(0,0,z)^T)= x*ϕ(e1)+y*ϕ(e1)+z*ϕ(e3)
ϕ((x,y,z)^T) = x*(−1, 1, −3)^T + y*(7, -1, 6)^T + z*(-2,2,-6)^T
ϕ((x,y,z)^T) = (-x + 7y - 2z, x - y + 2z, -3x + 6y - 6z)^T

Die Abbildung \(\Phi \) ist also definiert durch
$$ \Phi\left(\begin{pmatrix}x \\ y\\z \end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix}-x + 7y - 2z \\ x - y + 2z\\-3x + 6y - 6z \end{pmatrix}$$ Die Abbildumgsmatrix können wir ablesen
\(A=\begin{pmatrix} -1& 7 & -2\\1  &-1  & 2\\ -3 & 6 &-6 \end{pmatrix}  \)

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!