ϕ: ℝ2 → ℝ3 gegeben durch ϕ(x,y) = (x-y,y-x,x) Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von ker ϕ und Bild ϕ.

Question

Aufgabe:

Sei die lineare Abbildung ϕ: ℝ² → ℝ³ gegeben durch ϕ(x,y) = (x-y,y-x,x)

Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von ker ϕ und Bild ϕ.

Frage:

Wie soll man den Kern und das Bild bilden, wenn wir lediglich x und y gegeben und keine konkreten Konstanten?

Answer 1

Für den Kern musst du ja nur wissen, welche (x,y) werden auf (0,0,0) abgebildet,

also   x-y = 0   und  y-x=0    und   x=0  .

Das gilt zusammen nur für (x,y)=(0,0)

==>  dim(Kern(Φ)=0 und eine Basis ist der 0-Vektor (0,0).

==>   dim(Bild(Φ))=  2 =   dim(R^2) - dim(Kern(Φ)

und aus  (x-y,y-x,x) = x*( 1,-1,1) + y*(-1,1,0) folgt dann,

dass ( 1,-1,1) ,  (-1,1,0) eine Basis ist.

Comments

und eine Basis ist der 0-Vektor (0,0).

Nein, die Basis ist \( \emptyset \). Der Nullvektor ist immer linear abhängig und kann deshalb keine Basis sein.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nullvektorraum 

Answer 2

Hallo

bestimme die Bilder der Standard Basisvektoren, dann  hast du etwa (1,0) ->(1,-1,1) entsprechend  machst du (0,1) dann hast du die 2 Spalten der Abbildungsmatrix

Kern ist leicht zu sehen, denn dann müssen x-y, y-x und x auf 0 abgebildet werden.

Bild ist  die Linearkombination der Bilder der Basisvektoren.

Gruß lul