Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von ker j und Bild j.

Question

Aufgabe:

Sei die lineare Abbildung j: R2 -> R3 gegeben durch

j (x

y) =

(x - y

y - x

x)

Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von ker j und Bild j.

Comments

Da Sie offenbar so große Schwierigkeiten mit den Aufgaben auf meinen Übungsblättern haben, dass sie hier sämtliche Aufgaben von zwei Übungsblättern gepostet haben, empfehle ich, besuchen Sie doch meine Vorlesung. Nächster Termin: Morgen 8 Uhr. Dann erkläre ich Ihnen auch, warum Sie sich mit dieser Aufgabe nicht mehr beschäftigen müssen.

Answer 1

$$ j:R^2 \rightarrow R^3 ; j(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x-y\\y-x\\x \end{pmatrix}$$

Für den Kern :

$$ j(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

also x-y=0 und y-x=0 und x=0 also   x=y=0.

==>  Kern ( j ) = {0}    Also Basis = ∅     dim(Kern(j)) = 0

Bild:  Die Bilder sehen alle so aus

$$\begin{pmatrix} x-y\\y-x\\x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-y\\-x+y\\x \end{pmatrix}= x*\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}+y*\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Also ist eine Basis des Bildes $$\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$$

und dim(Bild(j))=2