Aloha :)
Zur Bestimmung einer Basis des Bildes kannst du die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren mittels elementarer Spalten-Operationen herausrechnen. Ziel ist es, möglichst viele Zeilen zu erhalten, die lauter Nullen und genau einen Wert ungleich Null haben:$$\begin{array}{rrr}& +S_1 &\\\hline1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\0 & 2 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}& & -S_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\0 & 2 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\end{array}$$Wir erhalten zwei linear unabhängige Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) als eine mögliche Basis des Bildes.
Da die Matrix drei Spalten hat, erwartet sie einen 3-dimensionalen Vektor als Eingangsvektor. Das Bild ist 2-dimensional. Also muss die Dimension des Kerns \(3-2=1\) sein.
