Aufgabe:
Sei φ: ℝ5 → ℝ3 , \( \begin{pmatrix} v\\w\\x\\y\\z \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} v-2w-y+3z\\v-2w+x+y+6z\\2v-4w+x+9z \end{pmatrix} \)
1) Bestimmen Sie dimBild(φ) und geben Sie eine Basis von Bild(φ) an.
2) Bestimmen Sie dimKer(φ) ohne Ker(φ) zu berechnen.
3) Bestimmen Sie eine Basis B von Ker(φ) und geben Sie ein Komplement von Ker(φ) an.
4) Sei B1 = ( (1,0,0,0,0) , (0,1,0,0,0) , (0,0,1,0,0) , (0,0,0,1,0) , (1,1,1,1,1)) und sei B2 die kanonische Basis des R3. Bestimmen Sie MB1,B2(φ). (Sie dürfen verwenden, dass B1 eine Basis von R3 ist.)
Problem/Ansatz:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich hier einen Fehler mache. Ich habe leider keine Lösungen der Aufgabe, da ich die Aufgabe im Internet gefunden habe. Es wäre interessant, ob ich soweit richtig liege, oder iwo falsch vorgehe, falls ja, wäre es nett, wenn ihr mir den richtigen Ansatz erklären könntet. Ich danke euch schonmal für eure Zeit.
Mein Ansatz wäre folgender:
1)
Löse ich die Matrix mit Gaus und bekomme folgende heraus: \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
dimBild(φ) = rang(φ) = 2.
Eine Basis von Bild(φ) ist {(1,1,2), (0,1,1)} Da wir bei der gelösten Matrix Spalte 1 und Spalte 3 in Zeilenstufenform haben und man einfach dafür die Spalten der ursprünglichen Matrix nehmen kann.
2)
Lässt sich mit der Dimensionsformel: dim(ker(φ)) + dim(Bild(φ)) = dim(R^3)
⇒ dim(ker(φ)) + 2 = 3 durch Umformung erhält man: dim(ker(φ)) = 3-2= 1
3)
Bei der Basis B vom ker(φ) formt man die gelöste Matrix von 1 um. Wir bekommen dann eine mögliche Basis z.B: (2,0,1)
Das Komplement dazu wäre quasi die Basis des Bild(φ), sodass wieder der R^3 herauskommt.
Wenn man die Basen in eine Matrix steckt und diese löst, bekommt man die Einheitsmatrix raus, wodurch dies stimmen sollte.
4)
Als Lösung habe ich folgende Matrix raus. MB1,B2(φ) = \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & 7 \\ 2 & -4 & 1 & 0 & 8 \end{pmatrix} \)
