Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: V → W injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume mit dim(V) = dim(W). Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: V → W injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte folgendes

$$ \begin{aligned}&L:\ V\to W \text{ injektiv}\\\Leftrightarrow & \text{Ker}(L)=\{0\}\\\Leftrightarrow &\dim(\text{Ker}(L))=0\\\Leftrightarrow &\dim(V)=\dim(\text{Im}(L))\\\stackrel{\dim(V)=\dim(W)}{\Leftrightarrow} &\dim(W)=\dim(\text{Im}(L))\\\stackrel{\dim(V)=\dim(W)}{\Leftrightarrow} &W=\text{Im}(L)\\\Leftrightarrow &L:\ V\to W \text{ surjektiv}\end{aligned} $$

Comments

Vielleicht sollte man Fragesteller darauf hinweisen, dass die 3. Äquivalenz aus einem Satz folgt, Rangsatz oder Dimensionssatz o. Ä