Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: A → B injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Question

Aufgabe:Seien A, B Vektorräume mit dim(A) = dim(B). Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung L: A → B injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Eine linear Abbildung ist festgelegt durch Angabe der

Bilder für eine Basis. Die Vektorräume sind endlichdimensional ?

Sei also v1,...,vn eine Basis von A.

sei nun L surjektiv dann ist Bild(L) = B

also L(v1) , L(v2) , ..., L(vn) eine Basis von B,.

Nach dem Dimensionssatz ist dann Kern(L)={0},

also L injektiv.

umgekehrt entsprechend.