Zeige eine lineare Abbildung f:V→W zwischen 2 Vektorräumen ist surjektiv, wenn die duale Abbildung f∗:W∗→V∗ injektiv ist

Question

Beweisen Sie, dass eine lineare Abbildung f : V → W zwischen zwei Vektorräumen V und W über einem Körper K genau

dann surjektiv ist, wenn die duale Abbildung f∗: W∗ → V∗ injektiv ist.

Comments

Hallo,

wie ist denn die duale Abbildung definiert?

Gruß Mathhilf

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Sind U, V K-Vektorräume und ist f ∈ Hom(U, V ), so definiert man die duale Abbildung f∗∈Hom(V∗,U∗) durch: f∗(β) = β ◦ f.

Answer 1

Hallo,

dann kann ich Dir ein Stück weit helfen (Ich benutze ' statt *):

Wenn \(f:V \to W\) surjektiv ist, dann ist zu zeigen, dass f' injektiv ist. Da f' bekanntlich linear ist, untersuchen wir den Kern von f'. Sei also \(f'(\beta)=0\). Wir zeigen: \(\beta\) ist das Nullfunktional:

Sei \(y \in W\) dann existiert \(x \in V\) mit \(y=f(x)\). Also gilt: \(\beta(y)=\beta \circ f(x)=f'(\beta)(x)=0\)

Die Umkehrung geht indirekt: Wenn nicht surjektiv ist, dann ist f' nicht injektiv. Wenn nämlich ein \(y \in W\) existiert ohne Urbild unter f in V, dann definiere \(\beta \in W'\) durch

$$\beta(sy):=s, s \in \mathbb{R} \text{  und } \beta(w):=0 \text{ sonst}$$

Dann ist \(f'(\beta)= \beta \circ f\) das Nullfunktional, aber \(\beta) nicht.

Zu begründen wäre noch die Existenz von \(\beta\). Das folgt aus der Existenz einer Hamel-Basis. Frage ist, ob Ihr in dieser Richtung etwas besprochen habt.

Gruß Mathhilf