Sei f: V→W eine lineare Abbildung und (v1,···, vn) eine Basis von V. Zeige: f ist injektiv/surjektiv/bijektiv

Question

Aufgabe:

Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung und sei \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( V \).

Zeigen Sie:

1. \( f \) ist injektiv genau dann, wenn, \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) linear unabhängig ist.

2. \( f \) ist surjektiv genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) ein EZS ist.

3. \( f \) ist bijektiv genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) eine Basis ist.

Answer 1

1.injektiv -> l.u.:

f injektiv <=> ker f = 0.

Betrachte a1f(v1) + ... + anf(vn) = 0

=> f(a1v1+...+anvn) = 0 => a1v1+...+anvn = 0, da ker f = 0

=> a1 = ... = an = 0, da die vi lin. unabh. sind

l.u. -> inj.

zeige ker f = 0.

angenommen f(a1v1+...+anvn) = 0

=> a1f(v1)+...+anf(vn) = 0 => a1 = ... = an = 0, da f(vi) lin. unabh.

also f(v) = 0 <=> v = 0, also ker f = 0, also f injektiv.

Answer 2

2. f ist surjektiv ⇔ f(v₁),...,f(v_n) ist Erzeugendensystem.

 

⇒: Sei f surjektiv. Das heißt, für alle w∈W existiert ein v aus V mit f(v)=w.
Entwickle v nach der Basis in V:
w = f(v) = f(a₁v₁+...+a_nv_n)

wegen f linear gilt:

w = f(a₁v₁+...+a_nv_n)=a₁f(v₁₎+...+a_nf(v_n)

Da das w beliebig gewählt war, lässt sich so jedes w aus W nach f(v₁) bis f(v_n) entwickeln. Also ist f(v₁),...,f(v_n) ein Erzeugendensystem.

 

⇐: Sei f(v₁),...,f(v_n) ein Erzeugendensystem von W. Nach Definition bedeutet das: jedes Element von w lässt sich als Linearkombination über f(v₁),...,f(v_n) mit den Koeffizienten a₁, ..., a_n darstellen:

w = a₁f(v₁₎+...+a_nf(v_n)

Analog zur anderen Richtung folgt daraus:
w = f(a₁v₁+...+a_nv_n) = f(v)

Da das für jedes Element von W funktioniert, besitzt jedes Element von W ein Urbild v. Also ist f surjektiv.

 

3. Hier muss man nur ausnutzen:

f(v₁),...,f(v_n) ist eine Basis ⇔ f(v₁),...,f(v_n) ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem

Mit den eben bewiesenen Äquivalenzen folgt damit direkt die Behauptung.

Answer 3

Antwort mit KI erzeugt

1. Injektivität von \( f \)

Um zu zeigen, dass \( f \) injektiv ist genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) linear unabhängig in \( W \) ist, gehen wir wie folgt vor:

Eine lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) ist genau dann injektiv, wenn für alle \( u, v \in V \), aus \( f(u) = f(v) \) folgt, dass \( u = v \). Das bedeutet, \( f(u - v) = 0_W \) impliziert \( u - v = 0_V \) (wobei \( 0_W \) und \( 0_V \) die Nullvektoren in \( W \) bzw. \( V \) sind). Das ist äquivalent dazu zu sagen, dass der Kern von \( f \) nur aus dem Nullvektor besteht.

Für die Basis \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) von \( V \) bedeutet das, wenn \( \sum_{i=1}^{n}a_iv_i = 0_V \) impliziert, dass alle \( a_i = 0 \) für \( i=1, \cdots, n \), wenn und nur wenn \( f \) injektiv ist. Das heißt, jedes \( a_i \) muss null sein, wenn das Bild dieser Linearkombination der Nullvektor in \( W \) ist. Wäre \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) in \( W \) nicht linear unabhängig, gäbe es eine nichttriviale Linearkombination der \( f(v_i) \), die den Nullvektor erzeugt, was ein Widerspruch zu \( f \)s Injektivität wäre.

2. Surjektivität von \( f \)

\( f \) ist surjektiv genau dann, wenn jedes Element von \( W \) als Bild eines Elementes von \( V \) unter \( f \) dargestellt werden kann. Das bedeutet, dass die Bildmenge von \( V \) unter \( f \), \( f(V) \), gleich \( W \) ist.

Wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) ein Erzeugendensystem (EZS) von \( W \) ist, dann kann jeder Vektor in \( W \) als Linearkombination der \( f(v_i) \) ausgedrückt werden. Das zeigt die Surjektivität von \( f \), weil das bedeutet, dass jedes Element von \( W \) im Bild von \( V \) unter \( f \) liegt.

Umgekehrt, wenn \( f \) surjektiv ist, muss das Bild der Basisvektoren \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) von \( V \) das ganze \( W \) aufspannen, und somit bilden \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) ein EZS von \( W \).

3. Bijektivität von \( f \)

Eine lineare Abbildung \( f \) ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Gemäß den obigen Argumenten ist \( f \) genau dann injektiv, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) linear unabhängig ist, und \( f \) ist genau dann surjektiv, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) ein Erzeugendensystem von \( W \) ist.

Für \( f \), um bijektiv zu sein, muss also \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) sowohl linear unabhängig als auch ein Erzeugendensystem von \( W \) sein, sprich, eine Basis von \( W \) bilden. Das zeigt, dass \( f \) bijektiv ist genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) eine Basis von \( W \) ist.