Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum und seien v1, . . . , vn ∈ V

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum und seien v₁, . . . , v_n ∈ V , sodass
(v₁, . . . , v_n) linear abhängig ist, aber (v_i)_i∈I
linear unabhängig für jedes I ⊂ {1, . . . , n}
mit |I| = n − 1.

a) Zeigen Sie, dass es λ₁, . . . , λ_n ∈ K \ {0} gibt, sodass λ₁v₁ + . . . + λ_nv_n = 0.

b) Seien nun µ₁, . . . , µ_n ∈ K mit µ₁v₁ + . . . + µ_nv_n = 0. Zeigen Sie, dass es dann ein
ν ∈ K gibt, sodass µ_i = ν · λ_i
für alle i = 1, . . . , n.

Problem/Ansatz:

Könnte jemand bei der Aufgabe helfen? Ich weiß nicht wie ich a) und b) zeigen soll.

LG Blackwolf :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass es λ1, . . . , λn ∈ K \ {0} gibt, so dass

Stichworte: vektorraum

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper und \( V \) ein \( K \)-Vektorraum. Ferner seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren mit der Eigenschaft, dass je \( n-1 \) der Vektoren linear unabhängig sind. Zeigen Sie, dass es \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in K \backslash\{0\} \) gibt, so dass

\( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} v_{i}=0 \)

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Answer 1

Hallo,

ich schreibe s_i statt lambda und t_i statt mü

a) Weil \((v_1, \ldots,v_n)\) linear abhängig ist, gibt es \(s_i\), die nicht alle gleich 0 sind, mit

$$\sum_{i=1}^ns_iv_i=0$$

Wenn ein Koeffizient, sagen wir \(s_1\), gleich 0 ist, dann folgt:

$$\sum_{i=2}^ns_iv_i=0$$

Weil \((v_2, \ldots,v_n)\) linear unabhängig ist, wären dann alle \(s_i=0\). Widerspuch. Also ist kein \(s_i=0\).

b) Sei nun

$$\sum_{i=1}^nt_iv_i=0$$

Wir ersetzen darin (zum Beispiel) nach a)

$$v_n=-\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^{n-1}s_iv_i$$

und erhalten

$$\sum_{i=1}^{n-1}(t_i-\frac{t_ns_i}{s_n})v_i=0$$

Weil \((v_1, \ldots,v_{n-1})\) linear unabhängig ist, sind alle Koeffizienten in der letzten Gleichung gleich 0. Also gilt mit \(v:=t_n/s_n\): \(t_i=vs_i\), zunächst für \(i=1, \ldots, n-1\), aber auch trivial für \(i=n\)

Gruß Mathhilf