Sei v1, . . . , vn linear unabhängig

Question

Aufgabe:

(a) Sei v1, . . . , vn linear unabhängig in einem ein F-Vektorraum V und w ∈ V . Zeigen Sie:
Wenn v1 + w, . . . , vn + w linear abhängig ist, dann muss w ∈ span(v1, . . . , vn) sein.
(b) Bestimmen Sie diejenigen λ ∈ R, für die die Liste ¨ (1, λ, 1),(1, 0, 1),(0, 1, 1) ∈ R
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linear abhängig ist und geben
Sie eine entsprechende nicht-triviale Linearkombination zum Nullvektor an.
(c) Erläutern Sie, weshalb es aus mathematischer Sicht sinnvoll ist, bei der Definition von Basen die Eigenschaft
Lineare Unabhängigkeit zu fordern.

Answer 1

Wenn v1 + w, . . . , vn + w linear abhängig ist

==>  Es gibt eine Linearkombination des 0-Vektors mit mindestens

einem x_i ≠0.   x1(v1 + w) +  . . . +xn(vn + w) = 0

==>   xi(vi+w) = - x1(v1 + w) . . . -xn(vn + w)  (ohne i-ten Summanden rechts)

Weil xi≠0 folgt

            vi+w = - x1/xi(v1 + w) . . . -xn/xi(vn + w)

==>            w =   vi+w = - x1/xi(v1 + w) . . . -xn/xi(vn + w) - vi

also w∈ span(v1, . . . , vn).