Zeigen Sie, dass (v1, . . . , vn) genau dann linear unabhängig über C ist.

Question

Aufgabe:

Sei \(V\) ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum. Dann ist \(V\) offensichtlich auch ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum. Seien
\(v_1,...,v_n \in V\) . Zeigen Sie, dass \((v_1,...,v_n)\) genau dann linear unabhängig über \(\mathbb{C}\)
ist, wenn \((v_1, i\cdot v_1,...,v_n, i\cdot v_n)\) linear unabängig über \(\mathbb{R}\) ist.

Könnte jemand helfen?

Answer 1

Hallo :-)

Im \(\mathbb{C}\)-Vektorraum lässt sich jeder Koeffizient \(a_1,...,a_n\in \mathbb{C}\) durch

\(a_k=\alpha_k+i\cdot \beta_k, \quad \alpha_k,\beta_k\in \mathbb{R}\) für alle \(k=1,...,n\) schreiben.

Zu ,,\(\Rightarrow\)". Sei \((v_1,...,v_n)\) über \(\mathbb{C}\) linear unabhängig. Dann gilt:

$$ a_1\cdot v_1+...+a_n\cdot v_n=0\in V\quad \Rightarrow\quad 0=a_k=\alpha_k+i\cdot \beta_k\ \forall \ k=1,...,n. $$

Also folgt \(\alpha_k=0=\beta_k\) für alle \(k=1,...,n\), da \(\alpha_k,\beta_k\in \mathbb{R}\). Damit ist folgt also:

$$ \Big(\alpha_1\cdot v_1+\beta_1\cdot (i\cdot v_1)\Big)+...+\Big(\alpha_n\cdot v_n+\beta_n\cdot (i\cdot v_n)\Big)=0\in V\quad \Rightarrow\quad \alpha_k=0=\beta_k\ \forall \ k=1,...,n. $$

Die andere Richtung ist noch einfacher.