Zeigen Sie, dass das System v1 − u,...,vn − u genau dann linear abhängig ist, wenn λ1 + ...

Question

Aufgabe:

Es sei v1,...,vn ein linear unabhängiges System des K-Vektorraums V und u = λ1v1 + ... + λnvn mit λ1,...,λn ∈ K. Zeigen Sie, dass das System v1 − u,...,vn − u genau dann linear abhängig ist, wenn λ1 + ... + λn = 1.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

Du brauchst nur die Bedingung für lineare Abhängigkeit zu prüfen, also gibt es Koeffizienten \(s_i\) mit:

$$0=\sum_{i=1}^ns_i(v_i-u)=\sum_{i=1}^ns_i v_i- qu \text{  mit }q:=\sum_{i=1}^ns_i$$

Jetzt setzen wir die Info über u ein (ich verwende t statt \(\lambda\)):

geDa die \(v_i\) linear unabhängig sind, kann diese Gleichung nur gelten, wenn \(s_i-qt_i=0\) für alle i ist. Wenn nun die Summe über die \(t_i\) gleich 1 ist, dann setzen wir \(s_i:=qt_i\) und die Summe über die \(s_i\) ist dann gleich q. Und umgekehrt.

Gruß Mathhilf