Es sei n ∈ ℕ und u, v ∈ ℤ(modul 2)^n ∖{0}. Zeigen Sie, dass u und v genau dann linear unabhängig sind, wenn gilt u≠v.

Question

Aufgabe:

a) Es sei n ∈ ℕ und u, v ∈ ℤ(modul2)^n ∖{0}.

Zeigen Sie, dass u und v genau dann linear unabhängig sind, wenn gilt u≠v.

b) Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ0 und V : = {p∈ K [T ]: grad p ≤ n }.

Bestimmen Sie dim K V.

c) Es sei K : = ℤ3, V : = K4 und v1, v2, v3, v4 ∈V gegeben durch

v1 : = (0, 1, 1, 1), v2 : = (1, 0, 1, 1), v3 : = (1, 1, 0, 1), v4 : = (1, 1, 1, 0) .

Bestimmen Sie für U : = span {v1, v2, v3, v4} die Dimension dim K U.

Problem/Ansatz:

Leider komm ich hier nicht weiter.

Answer 1

Es sei n ∈ ℕ und u, v ∈ ℤ(modul2)n ∖{0}.

Zeigen Sie, dass u und v genau dann linear unabhängig sind, wenn gilt u≠v.

"==> "   Seien u,v aus   ℤ₂ⁿ ∖{0}.linear unabhängig.

und angenommen es wäre u=v. Dann wäre

1*u + 1*v = 0 also eine Darstellung

x*u+y*v=0 bei der nicht x und y beide 0 sind.

Widerspruch zur Def. von lin. unabh.

umgekehrt:

Seien  u≠v und  u = ( u1,u2,...,un) und v=(v1,v2,...,vn)

und angenommen u,v lin abh.

==> Es gibt eine Darstellung   x*u + y*v = 0

bei der nicht beide Faktoren x und y gleich 0 sind.

Also ist einer eine 1,  etwa das x. Dann hat man

                1*u + y*v = 0

==>     1 * u =  -y*v

Nun ist aber in Z2 immer y = - y, also

==>         u = y*v.

Wäre y=1, dann u=v im Widerspruch zur Annahme   u≠v .

Bleibt also nur y=0, dann ist aber 0*v= 0-Vektor, also u=0-Vektor

im Widerspruch zur Vor.   u aus   ℤ₂ⁿ ∖{0}.

                                                                 q.e.d.