Warum sind die Spaltenvektoren einer n*n Matrix genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix …

Question

Aufgabe:

Warum sind die Spaltenvektoren einer n*n Matrix genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist?

Problem/Ansatz:

Ich hab bezüglich der Determinante noch gar keine Verbindungen herstellen können, ob etwas linear abhängig bzw. linear unabhängig ist. Weiß jemand die Antwort darauf?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix entspricht dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das ihre \(n\) Zeilen- bzw. \(n\) Spaltenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante \(=0\) ist, wird der \(n\)-dimensionale Raum durch die \(n\) Vektoren nicht vollständig aufgespannt. Das bedeutet, dass mindestens einer dieser \(n\) Vektoren durch die anderen \((n-1)\) Vektoren ausgedrückt werden kann. Die Vektoren sind daher linear abhängig.

Answer 2

Die Spalten der Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Spaltenvektoren

einen n-dimensionalen Unterraum von \(K^n\), also \(K^n\) selbst aufspannen.

Das ist genau dann der Fall, wenn die lineare Abbildung \(x\mapsto Ax\) surjektiv ist.

Im endlich-dimensionalen Fall ist das genau dann der Fall, wenn die

lineare Abbildung bijektiv ist, d.h. wenn es eine Matrix \(B\) gibt, so dass

\(x\mapsto Bx\) die Umkehrabbildung zu \(x\mapsto Ax\) ist, also

genau dann wenn \(A\cdot B=I_n\) mit einer Matrix \(B\) ist.

Das aber ist mit der Invertierbarkeit von \(A\) äquivalent.

Aus der Multiplikativität der Determinante folgt dann die Behauptung.