Warum sind die Spaltenvektoren einer n*n Matrix genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix …

Question

Aufgabe:

Warum sind die Spaltenvektoren einer n*n Matrix genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist?

Problem/Ansatz:

Ich hab bezüglich der Determinante noch gar keine Verbindungen herstellen können, ob etwas linear abhängig bzw. linear unabhängig ist. Weiß jemand die Antwort darauf?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer $n\times n$-Matrix entspricht dem $n$-dimensionalen Volumen, das ihre $n$ Zeilen- bzw. $n$ Spaltenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante $=0$ ist, wird der $n$-dimensionale Raum durch die $n$ Vektoren nicht vollständig aufgespannt. Das bedeutet, dass mindestens einer dieser $n$ Vektoren durch die anderen $(n-1)$ Vektoren ausgedrückt werden kann. Die Vektoren sind daher linear abhängig.

Answer 2

Die Spalten der Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Spaltenvektoren

einen n-dimensionalen Unterraum von $K^n$, also $K^n$ selbst aufspannen.

Das ist genau dann der Fall, wenn die lineare Abbildung $x\mapsto Ax$ surjektiv ist.

Im endlich-dimensionalen Fall ist das genau dann der Fall, wenn die

lineare Abbildung bijektiv ist, d.h. wenn es eine Matrix $B$ gibt, so dass

$x\mapsto Bx$ die Umkehrabbildung zu $x\mapsto Ax$ ist, also

genau dann wenn $A\cdot B=I_n$ mit einer Matrix $B$ ist.

Das aber ist mit der Invertierbarkeit von $A$ äquivalent.

Aus der Multiplikativität der Determinante folgt dann die Behauptung.